2.2 Les fonctions algébriques: Fonction racine et exposant fractionnaire

5. Fonction racine et exposant fractionnaire

Comme nous avons vu dans une section précédente, les fonctions de la forme $f(x) = x^n$ sont appelées fonctions puissances. Si l'exposant est un nombre fractionnaire, cela signifie que la fonction est irrationnelle et, dans son équation, la variable indépendante apparaît sous un radical.

Voici la définition et le graphique de quelques fonctions à exposant fractionnaire.

$f(x) = x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$ $\text{dom}f = \mathbb{R}$ $\text{codom}f = \mathbb{R}$
$f(x) = x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$ $\text{dom}f = \mathbb{R}$ $\text{codom}f = \left[{0, \infty}\right[$
$f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ $\text{dom}f = \left[{0, \infty}\right[$ $\text{codom}f = \left[{0, \infty}\right[$

Étudions plus en détail cette dernière fonction, soit la fonction racine carrée

$f(x) = \sqrt{x}$ . Pour définir la fonction racine carrée, on peut faire appel à la réciproque de la fonction quadratique

$f(x) = x^2$ . Ce sujet est abordé dans une autre section. Contentons-nous d'explorer les caractéristiques de la fonction racine à partir du graphique GeoGebra suivant.

La fonction racine carrée de base $f(x)=\sqrt{x}$ possède les caractéristiques suivantes:

La fonction possède un seul zéro en $x = 0$ et il s'agit d'un minimum.
Elle est croissante sur tout son domaine, soit sur $\left[{0, \infty}\right[$ .
Elle est positive sur $\left]{0, \infty}\right[$ et nulle si $x=0$ . Elle n'est jamais négative.

On peut également créer d'autres fonctions composées à partir de la fonction racine de base. Nous élaborerons ce concept plus en détails dans la section sur les transformations de fonctions. Pour l'instant, dans le graphique Geogebra, on s'intéresse aux fonctions de la forme

$f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k$

Déplacez les différents curseurs « a », « b », « h » et « k ».

Le paramètre $\pmb{a}$ déforme verticalement la fonction racine de base. De plus, si $a$ change de signe, la courbe subit une réflexion par rapport à l'axe des $x.$
Le paramètre $\pmb{h}$ fait subir à la fonction $f(x) = a\sqrt{x}$ une translation horizontale et le paramètre $\pmb{k}$ , une translation verticale.
Si $a>0$ , le point $(h,k)$ est un minimum et si $a$ , le point $(h,k)$ est un maximum.
Le paramètre $\pmb{b}$ déforme horizontalement la fonction racine de base. Par contre, si $b$ change de signe, la courbe subit une réflexion par rapport à la droite verticale passant par le sommet $(h,k)$ .
La règle de transformation appliquée au graphique de la fonction de base est : $(x,y) \rightarrow \left({\frac{x}{b}+h,ay+k}\right)$ . Tous les points $(x,y)$ de la fonction $\sqrt{x}$ sont transformés par cette règle.
Dans le graphique Geogebra, cela est illustré par le point $(1,1)$ de la fonction $\sqrt{x}$ pointillée qui s'est déplacé au point P.

Ex. : Choisissez la fonction $f(x) = -2\sqrt{x-3} + 1$ .

On a que $a=-2$ et $b=1>0$ . La courbe est donc décroissante, car elle a subit une réflexion verticale. On remarque aussi que tous les points du graphique $-2\sqrt{x}$ subissent un déplacement vers la droite de $3$ et vers le haut de $1$ . L'extrémité $(0,0)$ s'est donc déplacé au point $(3,1)$ . Il s'agit d'un maximum.

Ex. : Choisissez la fonction $f(x) = -2\sqrt{6-3x} + 4$ .

En effectuant une mise en évidence, on a que $f(x) = -2\sqrt{-3(x-2)} + 4$ . Ainsi, $a=-2$ et $b=-3$ . La courbe est donc croissante, car elle a subit une réflexion verticale et une réflexion horizontale. De plus, le sommet $(0,0)$ s'est déplacé au point $(2,4)$ . Il s'agit d'un minimum.