2.2 Les fonctions algébriques: Fonction puissance (exposant naturel)

3. Fonction puissance (exposant naturel)

Les fonctions puissances sont des fonctions définies par

où l'exposant

$n$ peut désigner un naturel

$(\mathbb{N})$ , un entier

$(\mathbb{Z})$ ou un réel

$(\mathbb{R})$ .

Si $n$ est un entier négatif, il s'agit de fonctions rationnelles et elles seront traitées dans la prochaine section. Les exposants de la forme $\dfrac{1}{m}$ , les fonctions racines, et les exposants réels seront également abordés plus loin. Les fonctions puissances à exposant naturel, celles qui nous intéressent, servent de base dans la construction des fonctions polynomiales de degré $n$ de la forme :

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

où les coefficients $a_i \in \mathbb{R}$ pour tout $i = 0, 1, 2, ..., n$ , $a_n \neq 0$ et $n \in \mathbb{N}$ .

À partir du graphique GeoGebra suivant, étudions plus en détails les caractéristiques des fonctions puissances pour différentes valeurs de $n$ .

Les premières valeurs de $n$ correspondent à des fonctions de base :

Pour $n = 1$ , c'est la fonction linéaire $f(x) = x$ .
Pour $n = 2$ , c'est la fonction quadratique $f(x) = x^2$ .
Pour $n = 3$ , c'est la fonction cubique $f(x) = x^3$ .
Si $n = 0$ , on aura la fonction constante $f(x) = 1$ .

Toutes ces fonctions ont comme point commun $\left({1,1}\right)$ . Déplacez le curseur vertical à gauche afin de remarquer l'effet sur le graphique d'une augmentation ou d'une diminution de l'exposant.

On peut séparer les fonctions puissances en deux catégories, selon que l'exposant $n$ est pair ou impair.

Pour $n$ pair,

$\text{dom}f \in \mathbb{R}$
$\text{codom}f = \left[{0, \infty}\right[$ .
La fonction possède l'axe des $y$ comme axe de symétrie.
Elle possède un seul zéro en $x = 0$ et il s'agit d'un minimum.

Pour $n$ impair,

$\text{dom}f \in \mathbb{R}$
$\text{codom}f = \mathbb{R}$ .
L'origine $(0,0)$ est un centre de symétrie.
Elle possède également un seul zéro en $x = 0$ et la fonction est croissante sur son domaine.

On peut également créer d'autres fonctions composées à partir des fonctions puissances de base. Nous élaborerons ce concept plus en détail dans la section sur les transformations de fonctions. Pour l'instant, dans le graphique Geogebra, on s'intéresse aux fonctions de la forme

$f(x) = a{\left({x-h}\right)}^n + k$

Déplacez les différents curseurs « a », « h » et « k ».

Le paramètre $\pmb{a}$ influence la pente de la courbe. Si $a$ change de signe, la courbe subit une réflexion par rapport à l'axe des $x.$

Ex. : Choisissez la fonction de base $f(x) = x^4$ . Si $a > 1$ , la fonction décroit et croit plus rapidement que la fonction $x^4$ (la courbe se comprime sur l'axe des $y$ ). Si $0 < a < 1$ , la fonction décroit et croit moins rapidement. De plus, pour $a > 0$ , la fonction est positive et pour $a < 0$ , la fonction est négative.

Le paramètre $\pmb{h}$ fait subir à la fonction $f(x) = a{x^n}$ une translation horizontale et le paramètre $\pmb{k}$ , une translation verticale.

Ex. : Choisissez la fonction $f(x) = \left({x+3}\right)^3 + 2$ . On remarque le graphique de la fonction de base $x^3$ subit un déplacement vers la gauche de $3$ et vers le haut de $2$ . Donc le point $(0,0)$ s'est déplacé au point $(-3,2)$ .

Par conséquent, on peut généraliser les résultats précédents.

Le graphique d'une fonction

$f(x) = a{\left({x-h}\right)}^n + k$ est obtenu de celui de la fonction

$g(x) = a{x^n}$ par une translation qui déplace le point

$(0,0)$ au point

$(h,k)$ .