3.3 Fonctions trigonométriques inverses: Fonctions arcsec, arccot et arccsc

5. Fonctions arcsec, arccot et arccsc

Les fonctions sécante, cotangente et cosécante possèdent également leurs fonctions réciproques sur un intervalle restreint de leur domaine. Pour les fonctions arcsec et arccsc, le choix de l'intervalle restreint pour $y$ ne fait pas l'unanimité chez plusieurs mathématiciens en raison du signe de la dérivée de ces fonctions. Tout cela vous sera expliqué dans votre cours Calcul différentiel. Voici les définitions de ces trois dernières fonctions réciproques.

La fonction arcsécante est telle que

$y=\text{arcsec}(x)\Leftrightarrow x=\sec(y)$ où $y\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\cup\left]\frac{\pi}{2},\pi\right]$

Donc $\text{dom}(\text{arcsec})=]-\infty,-1]\cup[1,\infty[$

La droite $y=\frac{\pi}{2}$ est une asymptote horizontale.

sécante $\Rightarrow$ fonction arcsec

La fonction arccotangente est telle que

$y=\text{arccot}(x)\Leftrightarrow x=\cot(y)$ où $y\in\left]0,\pi\right[$

Donc $\text{dom}(\text{arccot})=\mathbb{R}$

Les droites $y=0$ et $y=\pi$ sont les asymptotes horizontales.

cotangente $\Rightarrow$ fonction arccot

La fonction arccosécante est telle que

$y=\text{arccsc}(x)\Leftrightarrow x=\csc(y)$ où $y\in\left[-\frac{\pi}{2},0\right[\cup\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$

Donc $\text{dom}(\text{arccsc})=\left]-\infty,-1]\cup [1,\infty\right[$

La droite $y=0$ est une asymptote horizontale.

cosécante $\Rightarrow$ fonction arccsc

Exemple : Calculer la valeur de $\tan\left(\text{arcsec}(4)\right)$ .

Par définition, on sait que si $\theta=\text{arcsec}(4)$ , où $\theta\in\left[0,\pi\right]\setminus\left\lbrace\frac{\pi}{2}\right\rbrace$ , alors

$\sec(\theta)=4\Rightarrow \cos(\theta)=\dfrac{1}{4}$ , car $\sec(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)}$

Étant donné que $\cos(\theta)=\frac{1}{4}>0$ , on peut dire que l'angle $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[$ .

Construisons un triangle rectangle respectant le rapport de cosinus $\frac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\frac{1}{4}$ . Posons le côté adjacent à 1 et l'hypoténuse à 4. Le côté opposé est égal à $\sqrt{4^2-1}=\sqrt{15}$ par Pythagore.

Nous pouvons ainsi trouver la valeur de $\tan\left(\text{arcsec}(4)\right)$ .

$\begin{array}{rll}\tan\left(\text{arcsec}(4)\right)&=\tan(\theta)&\small\text{; car }\theta=\text{arcsec}(4)\\&=\dfrac{\sqrt{15}}{1}&\small\text{; car }\tan(\theta)=\frac{\text{opp}}{\text{adj}}\\[1em]&=\sqrt{15}&\end{array}$

Ainsi, $\tan\left(\text{arcsec}(4)\right)=\tan(\theta)=\boxed{\sqrt{15}}$ pour un angle $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[.$