3.3 Fonctions trigonométriques inverses

Si l'on sait que $\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, on peut trouver $x$ en l'exprimant comme $x=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Exemple : Trouver la valeur de $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$,

solution On a par définition que

$y=\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\Leftrightarrow-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin(y)$ où $y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$

On cherche donc l'angle du domaine de arcsin à donner à la fonction sinus pour obtenir $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

À partir du cercle trigonométrique, on a que

$\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{-\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Par conséquent, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\boxed{-\frac{\pi}{4}}$.

Exemple : Trouver la valeur de $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$,

solution On a par définition que

$y=\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\Leftrightarrow-\frac{1}{2}=\cos(y)$ où $y\in [0,\pi]$

On cherche donc l'angle du domaine de arccos à donner à la fonction cosinus pour obtenir $-\frac{1}{2}$.

À partir du cercle trigonométrique, on a que

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$

Par conséquent, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\boxed{\frac{2\pi}{3}}$.

Exemple : Simplifiez l'expression $\cos(\arctan(x))$,

En posant l'angle $y=\arctan(x)$, on cherche donc à simplifier l'expression $\cos(\arctan(x))=\cos(y)$.

On a par définition que

$y=\arctan(x)\Leftrightarrow \tan(y)=x$ où $y\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$

Sachant que $\tan(y)=x$, on peut déterminer la valeur de $\cos(y)$ à l'aide de l'identité trigonométrique suivante :

$\begin{array}{rll}\tan^2(y)+1&=\sec^2(y)&\\x^2+1&=\sec^2(y)&\small\text{; car }\tan(y)=x\\\sqrt{x^2+1}&=+\sec(y)&\small\text{ puisque }y\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,\\[-0.5em]&&\small\text{ alors }\sec{y} > 0\\\sqrt{x^2+1}&=\dfrac{1}{\cos(y)}&\\\cos(y)&=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}&\end{array}$

Ainsi, $\cos(\arctan(x))=\cos(y)=\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$.

solution2 : À l'aide d'un schéma

Au lieu d'utiliser une identité trigonométrique, nous pourrions construire un triangle rectangle dont les côtés respectent la définition du rapport trigonométrique de tangente : $\frac{\text{opp}}{\text{adj}}.$

On sait que si $y=\arctan(x)$, alors $\tan(y)=x$. On a donc

$\tan(y)=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}=\dfrac{x}{1}$

où $y$ est un angle > 0

C'est-à-dire le côté opposé est égal à $x$ et le côté adjacent est égal à $1$. Par Pythagore, on a que l'hypoténuse doit être égale à $\sqrt{x^2+1}$.

Ainsi,

$\cos(y)=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$.

Exemple : Calculer la valeur de $\tan\left(\text{arcsec}(4)\right)$.

Construisons un triangle rectangle respectant le rapport de cosinus $\frac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\frac{1}{4}$. Posons le côté adjacent à 1 et l'hypoténuse à 4. Le côté opposé est égal à $\sqrt{4^2-1}=\sqrt{15}$ par Pythagore.

Nous pouvons ainsi trouver la valeur de $\tan\left(\text{arcsec}(4)\right)$.

$\begin{array}{rll}\tan\left(\text{arcsec}(4)\right)&=\tan(\theta)&\small\text{; car }\theta=\text{arcsec}(4)\\&=\dfrac{\sqrt{15}}{1}&\small\text{; car }\tan(\theta)=\frac{\text{opp}}{\text{adj}}\\[1em]&=\sqrt{15}&\end{array}$

Ainsi, $\tan\left(\text{arcsec}(4)\right)=\tan(\theta)=\boxed{\sqrt{15}}$ pour un angle $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[.$

Exemples : Résoudre les équations suivantes.

a) $2\sin(\theta)+1=0$ si $\theta\in[0,2\pi[$.

Solution

1. Le domaine de cette équation est $\theta\in[0,2\pi[$ et il n'y a aucune restriction pour sinus.
2. 

   Isolons la fonction sinus :

   $\begin{array}{ll}2\sin(\theta)+1=0&\Rightarrow 2\sin(\theta)=-1\\&\Rightarrow \sin(\theta)=\frac{-1}{2}\end{array}$

3. Sur le cercle trigonométrique, on a $\sin(\theta)=\frac{-1}{2}$ si $\theta=\boxed{\frac{7\pi}{6}}$ et $\theta=\boxed{\frac{11\pi}{6}}$. Ces deux valeurs font partie du domaine.

b) $\sqrt{2}\sin(x)=\tan(x)$ où $x\in[0,2\pi[$.

Solution On transforme tout d'abord le membre de droite pour obtenir des sinus et cosinus.

$\sqrt{2}\sin(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$

1. Sur l'intervalle $[0,2\pi[$, il y a deux restrictions : $x=\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$, car, pour ces deux valeurs, le dénominateur $\cos(x)=0$.

2. Simplifions cette équation.

   $\begin{array}{rll}\sqrt{2}\sin(x)&=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}&\\[1em]\sqrt{2}\sin(x)\cos(x)&=\sin(x)&\small\text{; on a multiplié chaque}\\&&\small\text{ membre par }\cos(x)\\\sqrt{2}\sin(x)\cos(x)-\sin(x)&=0&\\[1em]\underset{(1)}{\underbrace{\sin(x)}}\underset{(2)}{\underbrace{\left(\sqrt{2}\cos(x)-1\right)}}&=0&\small\text{; on a factorisé}\end{array}$

   Ainsi, chacun des facteurs de cette dernière équation peut être égal à 0. C'est-à-dire

   $\begin{array}{lcclc}(1)&\sin(x)=0&\text{ou}&(2)&\sqrt{2}\cos(x)-1=0\\\ & &&\Rightarrow&\cos(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

3. 

   Pour l'équation (1), les valeurs de l'angle $x$ pour lesquelles $\sin(x)=0$ sont $\boxed{x=0}$ et $\boxed{x=\pi}$.

   Pour l'équation (2), on trouve sur le cercle trigonométrique les valeurs de l'angle $x$ pour lesquelles $\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Soit

   $\boxed{x=\dfrac{\pi}{4}}$ et $\boxed{x=\dfrac{7\pi}{4}}$

Ces quatre solutions font partie du domaine de l'équation et respectent les restrictions.

Exemple : Déterminer le domaine de la fonction $f(x)=\dfrac{\ln(\cos(x))}{\sin(3x)}$.

Solution Le domaine de cette fonction dépend des restrictions suivantes :

1. La fonction logarithmique ln est définie pour des arguments strictement positifs (> 0). Par conséquent, il faut que son argument $\cos(x)>0$.

   

   On trouve sur le cercle trigonométrique que les valeurs de l'angle $x$ pour lesquelles la valeur de cosinus est strictement positive sont $\left]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$.

   Par contre, on sait également qu'en faisant des tours complets sur le cercle, il existe d'autres valeurs $\mathbb{R}$ pour lesquelles cosinus est $>0$. Étant donné que

   $\begin{array}{rl}P\left(\frac{-\pi}{2}\right)&=P\left(\frac{-\pi}{2}+2k\pi\right)\\[1em]\text{et }P\left(\frac{\pi}{2}\right)&=P\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\end{array}$ où $k\in\mathbb{Z},$

   ainsi on aura $\cos(x)>0$ pour les valeurs de $x\in\left]\frac{-\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right[$ où $k\in\mathbb{Z}.$

2. La deuxième restriction est que le dénominateur doit être non nul. Par conséquent, il faut que $\sin(3x)\neq 0.$

   On a que

   $\begin{array}{lcl}\sin(\theta)\neq 0&\Leftrightarrow& \theta\neq -\pi, 0,\pi, 2\pi,\dots\neq k\pi\\\sin(3x)\neq 0&\Leftrightarrow&3x\neq k\pi\\&\Leftrightarrow& x\neq\dfrac{k\pi}{3}\end{array}$ où $k\in\mathbb{Z}$

   

   En situant les valeurs où $x=\frac{k\pi}{3}$ sur le cercle trigonométrique, on constate que seulement trois points font partie de l'intervalle de la restriction précédente :

   $\begin{array}{rl}P\left(\frac{-\pi}{3}\right)&=P\left(\frac{-\pi}{3}+2k\pi\right)\\[1em]P(0)&=P(2k\pi)\\[1em]P\left(\frac{\pi}{3}\right)&=P\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)\end{array}$ où $k\in\mathbb{Z}$

   Il faut donc exclure du domaine de $f$ ces valeurs de $x$ pour lesquelles $\sin(3x)=0$ et qui se trouvent dans l'intervalle $x\in\left]\frac{-\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right[.$

Ainsi, le domaine de $f$ est : $\text{dom}\left(\frac{\ln(\cos(x))}{\sin(3x)}\right)=x\in\left]\frac{-\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right[\setminus\left\lbrace\frac{-\pi}{3}+2k\pi, 2k\pi,\frac{\pi}{3}+2k\pi\right\rbrace$ où $k\in\mathbb{Z}.$