Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)

Exemple : Simplifiez l'expression $\cos(\arctan(x))$,

En posant l'angle $y=\arctan(x)$, on cherche donc à simplifier l'expression $\cos(\arctan(x))=\cos(y)$.

On a par définition que

$y=\arctan(x)\Leftrightarrow \tan(y)=x$ où $y\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$

Sachant que $\tan(y)=x$, on peut déterminer la valeur de $\cos(y)$ à l'aide de l'identité trigonométrique suivante :

$\begin{array}{rll}\tan^2(y)+1&=\sec^2(y)&\\x^2+1&=\sec^2(y)&\small\text{; car }\tan(y)=x\\\sqrt{x^2+1}&=+\sec(y)&\small\text{ puisque }y\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,\\[-0.5em]&&\small\text{ alors }\sec{y} > 0\\\sqrt{x^2+1}&=\dfrac{1}{\cos(y)}&\\\cos(y)&=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}&\end{array}$

Ainsi, $\cos(\arctan(x))=\cos(y)=\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$.

solution2 : À l'aide d'un schéma

Au lieu d'utiliser une identité trigonométrique, nous pourrions construire un triangle rectangle dont les côtés respectent la définition du rapport trigonométrique de tangente : $\frac{\text{opp}}{\text{adj}}.$

On sait que si $y=\arctan(x)$, alors $\tan(y)=x$. On a donc

$\tan(y)=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}=\dfrac{x}{1}$

où $y$ est un angle > 0

C'est-à-dire le côté opposé est égal à $x$ et le côté adjacent est égal à $1$. Par Pythagore, on a que l'hypoténuse doit être égale à $\sqrt{x^2+1}$.

Ainsi,

$\cos(y)=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$.