Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)

Exemples : Démontrons les identités suivantes.

a) $\dfrac{\cos(x)}{1-\sin(x)}=\sec(x)+\tan(x)$.

Il faut tout d'abord exprimer tous les membres de cette équation en terme de sinus et cosinus. Nous allons développer le membre de droite de cette égalité, c'est-à-dire le transformer pour obtenir le membre de gauche.

$\begin{array}{ll}\sec(x)+\tan(x)&\\[0.7em]=\dfrac{1}{\cos(x)}+\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}&\small{\text{; définition de }\tan(x)\text{ et }\sec(x)}\\[1em]=\dfrac{1+\sin(x)}{\cos(x)}&\\[1em]=\dfrac{(1+\sin(x))}{\cos(x)}\cdot\dfrac{(1-\sin(x))}{(1-\sin(x))}&\small\text{; multiplication par le conjugué du numérateur}\\[1em]=\dfrac{1-\sin^2(x)}{\cos(x)(1-\sin(x))}&\small ;\;(1+\sin(x))(1-\sin(x))=1-\sin^2(x)\\[1em]=\dfrac{\cos^2(x)}{\cos(x)(1-\sin(x))}&\small{\text{; identité }\cos^2(x)=1-\sin^2(x)}\\[1em]=\dfrac{\cos(x)}{1-\sin(x)}&\small{\text{; simplication par }\cos(x)}\\&\square\end{array}$

L'identité est vérifiée.

b) $\cos^4(a)-\sin^4(a)=\cos(2a)$.

Nous allons développer le membre de gauche de cette égalité pour obtenir celui de droite, car il est plus complexe, et par le fait même, peut se transformer plus facilement.

$\begin{array}{ll}\cos^4(a)-\sin^4(a)&\\[1em]=\left(\cos^2(a)+\sin^2(a)\right)\left(\cos^2(a)-\sin^2(a)\right)&\small\text{; il s'agit d'une différence de carrés}\\&\;\small u^2-v^2=(u+v)(u-v)\\&\small{\text{ où }u=\cos^2(a)\text{ et }v=\sin^2(a)}\\=(1)(\cos(2a))&\small{\text{; identités }\cos^2(a)+\sin^2(a)=1}\\&\;\small{\text{ et }\cos^2(a)-\sin^2(a)=\cos(2a)}\\=\cos(2a)&\\&\square\end{array}$

L'identité est vérifiée.

c) $\dfrac{\sin(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}=\tan(\theta)$

Nous allons développer le membre de gauche de cette égalité pour obtenir celui de droite, pour les mêmes raisons qu'à l'exemple précédent.

Tout d'abord, observons les identités connues qui pourraient nous être utiles, car elles contiennent des expressions qui se trouvent également dans l'identité à démontrer :

$\begin{array}{lr}\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)&(1)\\\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)&(2)\\\cos^2(a)=\dfrac{1+\cos(2a)}{2} \Rightarrow 1+\cos(2a)=2\cos^2(a)&(3)\end{array}$

Nous allons utiliser les identités (1) et (3) pour développer notre membre de gauche.

$\begin{array}{lll}\dfrac{\sin(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}&=\dfrac{2\sin(\theta)\cos(\theta)}{2\cos^2(\theta)}&\small\text{; identités (1) et (3)}\\[1em]&=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}&\small{\text{; simplification par }2\cos(\theta)}\\[1em]&=\tan(\theta)&\small\text{; définition de tangente}\\&&\square\end{array}$

L'identité est vérifiée.