3.1 La trigonométrie: Graphes des fonctions trigonométriques

6. Graphes des fonctions trigonométriques

On peut représenter les différentes fonctions trigonométriques par un graphique en utilisant l'angle $\theta$ comme abscisse et la valeur de la fonction trigonométrique comme ordonnée. Nous allons d'abord nous intéresser aux cas des fonctions sinus et cosinus.

Le sinus est obtenu en considérant l'ordonnée du point engendré par un angle $\theta$ sur un cercle de rayon 1. Dans le graphe ci-dessous, vous pouvez déplacer ce point sur la courbe de $y=\sin(\theta)$ à l'aide du curseur ou cliquer sur pour lancer l'animation. L'ordonnée du point P sur le cercle de droite, représentée par le segment bleu, varie en fonction de l'angle et est égal à la valeur de $y=\sin(\theta)$ .

Le cosinus est quant à lui obtenu en considérant l'abscisse du point engendré par un angle $\theta$ sur un cercle de rayon 1. Dans le graphe ci-dessous, vous pouvez déplacer ce point sur la courbe de $y=\cos(\theta)$ à l'aide du curseur ou cliquer sur pour lancer l'animation. L'abscisse du point P sur le cercle de droite, représentée par le segment mauve, varie en fonction de l'angle et est égal à la valeur de $y=\cos(\theta)$ .

On remarque que les ordonnées et les abscisses des points du cercle sont toutes comprises entre -1 et 1 inclusivement. Par conséquent,

$\text{ima}(\sin)=[-1,1]\quad\text{et}\quad\text{ima}(\cos)=[-1,1]$

Pour les autres fonctions trigonométriques, il faut savoir que plus on divise un nombre par une valeur proche de zéro, plus le résultat s'approche de $\pm \infty$ . Ainsi, pour la tangente, puisque

$\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ ,

les zéros du cosinus vont créer des asymptotes verticales. En illustrant le tout sur un graphe, on obtient

De la même façon, puisque

$\sec(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)}, \quad\csc(\theta)=\dfrac{1}{\sin(\theta)},\quad \cot(\theta)=\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

les asymptotes verticales seront créées par les zéros des fonctions au dénominateur que nous avons trouvé dans la section précédente : Fonctions trigonométriques et leur domaine. On peut alors dessiner les graphes suivants.


La sécante	La cosécante	La cotangente