3.1 La trigonométrie

Considérons le triangle rectangle

Nous appellerons hypoténuse le côté opposé à l'angle droit. Dans l'image ci-haut, l'hypoténuse est désignée par $c$.

Évidemment, pour un angle $\theta$ donné, les longueurs des différents côtés ne sont pas fixées. En effet, on peut construire des triangles semblables en allongeant les différents côtés d'un même facteur.

Nous pouvons créer un lien entre les longueurs des côtés du triangle rectangle par le théorème de Pythagore :

De plus, nous pouvons aussi dire que les rapports entre les côtés restent les mêmes pour un angle $\theta$ fixé. Ce sont ces rapports qui forment les fonctions trigonométriques. Par exemple, dans le graphique Geogebra suivant, déplacez le point A sur le côté adjacent à l'angle $\theta$. On remarque que le rapport $\dfrac{a_1}{c_1}$ est constant pour un angle $\theta$ fixe, de même que tous les autres rapports.

On peut donc nommer ces rapports et définir des fonctions qui associent, pour un angle donné, un des rapports du triangle.

Nous désignerons par opp le côté opposé à l'angle et par adj le côté adjacent. Dans le triangle illustré, $\textbf{opp} = b$ et $\textbf{adj} = a$.

Exemples :

a) À l'aide du triangle,

calculez les valeurs de $\sin(\theta),\cos(\theta),\tan(\theta)$.

solution En localisant la position de l'angle $\theta$ et l'angle droit du triangle, on obtient que

la mesure de l'hypothénuse vaut $\sqrt{10}$ unités

la mesure du côté opposé à $\theta$ vaut $1$ unité

la mesure du côté adjacent à $\theta$ vaut $3$ unités.

On remarque que les longueurs des côtés respectent le théorème de Pythagore, car :

$(\sqrt{10})^2 = 1^2 + 3^3 = 10$

On peut maintenant calculer les rapports demandés :

$\sin(\theta)=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$\cos(\theta)=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

$\tan(\theta)=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}=\dfrac{1}{3}$

---

b) Sachant que $\sin(\theta)=\dfrac{5}{13}$ pour $\theta\in\left[0, \pi/2 \right]$, déterminer les valeurs de $\cos(\theta)$, $\tan(\theta)$ et $\csc(\theta)$.

solution On sait que pour tout angle $\theta$, la fonction sinus est le rapport constant $\frac{\text{opp}}{\text{hyp}}$. Par conséquent, nous allons créer un triangle rectangle respectant ce rapport trigonométrique,

$\sin(\theta)=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\dfrac{5}{13}$

Ainsi le côté opposé à l'angle mesure 5 unités et l'hypoténuse mesure 13 unités. Par le théorème de Pythagore, nous trouvons que la mesure du côté adjacent à l'angle vaut :

$\text{adj}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=\boxed{12}$ unités

Étant donné que l'angle $\theta$ prend des valeurs entre 0 et $\pi/2$, nous savons que les valeurs des fonctions trigonométriques sont toutes positives. Ainsi, en lisant le triangle rectangle, on peut calculer les rapports demandés.

$\cos(\theta)=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\dfrac{12}{13}$

$\tan(\theta)=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}=\dfrac{5}{12}$

$\csc(\theta)=\dfrac{1}{\sin(\theta)}=\dfrac{13}{5}$

Trois angles particuliers

Cas $\pmb{\frac{\pi}{4}}$ ou 45 degrés

Construisons un triangle rectangle isocèle, c'est-à-dire avec deux côtés égaux, et avec une hypoténuse de $2$. Les 2 angles autres que l'angle droit sont égaux et mesurent donc $45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$.

Dans ce cas, puisque les deux côtés sont égaux, on a, par Pythagore,

Comme le triangle est construit au complet, on peut déduire les valeurs des fonctions trigonométriques. Par exemple,

Cas ($\pmb{\frac{\pi}{6}}$ ou 30 degrés) et ($\pmb{\frac{\pi}{3}}$ ou 60 degrés)

Considérons maintenant un triangle équilatéral de côtés $1$. Traçons la bissectrice à partir du sommet du haut. Nous obtenons le triangle

Cette bissectrice est aussi la médiatrice, car le triangle est équilatéral. Encore une fois, par Pythagore, on peut déduire que

$h=\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2} =\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Puisque le triangle équilatéral a 3 angles égaux ($3\times 60^{\circ}=180^{\circ}$) et que la bissectrice en coupe un en deux, on obtient le triangle

Il ne reste qu'à lire le triangle

Lorsqu'on mesure les angles dans un cercle, par convention, le zéro est situé à droite à l'horizontale et on augmente dans le sens antihoraire tel qu'illustré dans la figure ci-dessous. Dans ce cas, la mesure de l'angle est positive, et elle est négative si la rotation se fait dans le sens horaire.

Deux façons de diviser le cercle sont largement répandues : les degrés et les radians.

Les degrés

Dans le système de degré, on divise le cercle en 360 parties égales. Chacune de ces parties mesure 1 degré. Dans ce système, un angle droit mesure 90 degrés.

Les radians

Dans le système de radians, on mesure la longueur de la corde associée à l'angle en question dans un cercle de rayon 1. On a alors qu'un angle faisant un tour complet du cercle mesure $2\pi$ radians. L’intérêt majeur de ce système de mesure d'angle est de rattacher la mesure à un concept de longueur de la corde. Les principaux angles en radians sont

Passer des radians aux degrés et vice versa

Pour passer d'un système de mesure à l'autre, il suffit d'effectuer une règle de 3. En effet, il y a un rapport de proportionnalité entre les radians et les degrés. Ainsi, puisque $360^\circ = 2\pi\text{ rad}$

Par exemple, pour un angle $\theta=30^\circ$, on a que $\dfrac{\text{rad}}{\pi}=\dfrac{30}{180}$ et donc $\text{rad}= \pi\cdot\dfrac{30}{180} = \dfrac{\pi}{6}$

Les points trigonométriques égaux

On constate qu'en partant d'un point sur le cercle et en effectuant des tours complets, on revient toujours au même point. Faire un tour complet signifie ajouter à un angle un multiple de $2\pi$, ou $360^{\circ}$.

On en déduit le résultat suivant :

Exercices formatifs WeBWorK

La trigonométrie et les angles

Considérons un cercle de rayon 1 et un point $(a,b)$ de ce cercle. Si le point est situé dans le premier quadrant, il détermine un triangle rectangle.

Étant donné ce que nous avons vu sur la trigonométrie dans le triangle, puisque l'hypoténuse mesure $1$ unité, on déduit que

$\cos(\theta) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}} = \dfrac{a}{1}=a$
$\sin(\theta) = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \dfrac{b}{1}=b$

c'est-à-dire que la première coordonnée correspond au cosinus de l'angle et la deuxième, au sinus. On va étendre les définitions des fonctions trigonométriques en posant que $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ sont les coordonnées sur le cercle du point engendré par un angle de $\theta$. De cette façon, on peut déduire les valeurs des angles remarquables en procédant par symétrie.

Les signes du sinus de $\theta$ et du cosinus de $\theta$ sont déterminés par la position du point sur le cercle, plus précisément par le quadrant dans lequel ce point est situé.

Tout d'abord, puisque le cercle est de rayon 1, il est facile de déduire qu'il coupe les axes aux coordonnées

Ces points correspondent aux angles suivants en radians.

Étant donné ce que nous avons calculé précédemment dans la trigonométrie du triangle, on peut déduire les valeurs suivantes. En effet, la première coordonnée correspond au cosinus et la deuxième, au sinus de l'angle en question.

$\theta$	$\cos(\theta)$	$\sin(\theta)$
$0$ ou $2\pi$	$1$	$0$
$\frac{\pi}{2}$	$0$	$1$
$\pi$	$-1$	$0$
$\frac{3\pi}{2}$	$0$	$-1$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Par la suite, en procédant par symétrie, on peut déduire l'ensemble des valeurs particulières du cercle trigonométrique.

Exemple : Évaluons chacun des nombres suivants.

$\text{a) }\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\boxed{\sqrt{3}}$

$\text{b) }\sec\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)}=\dfrac{1}{\frac{-\sqrt{2}}{2}}=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\boxed{-\sqrt{2}}$

$\begin{array}{ll}\text{c) }\cot\left(\dfrac{-15\pi}{2}\right)&=\cot\Bigl(\underset{\text{3 tours}}{\underbrace{\dfrac{-12\pi}{2}}}+\dfrac{-3\pi}{2}\Bigr)\\[2em]&=\cot\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right)=\cot\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\\[1em]&=\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\[1em]&=\dfrac{0}{1}\\[1em]&=\boxed{0}\end{array}$

Exemple : Sachant que $\tan(\theta)=\dfrac{1}{5}$ pour $\theta\in\left[0, 2\pi \right]$, déterminer les valeurs de $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$.

solution On sait que pour tout angle $\theta$, la fonction tangente est le rapport constant $\frac{\text{opp}}{\text{adj}}$. Par conséquent, nous allons créer un triangle rectangle respectant ce rapport trigonométrique,

$\tan(\theta)=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}=\dfrac{1}{5}$

Ainsi le côté opposé à l'angle est 1 et le côté adjacent est 5. Par le théorème de Pythagore, nous trouvons l'hypoténuse :

$\text{hyp} =\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$

Étant donné que l'angle $\theta$ prend des valeurs entre $0$ et $2\pi$, les valeurs de $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont déterminées par les coordonnées des points sur le cercle situés dans le premier quadrant $(+,+)$ ou le troisième quadrant $(-,-)$. En effet,

$\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\dfrac{+1}{+5}=\dfrac{-1}{-5}=\dfrac{1}{5}$

Ainsi, en lisant le triangle rectangle, on peut calculer les rapports demandés.

$\sin(\theta)=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{26}}}\text{ ou }\boxed{\dfrac{-1}{\sqrt{26}}}$

$\cos(\theta)=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\boxed{\dfrac{5}{\sqrt{26}}}\text{ ou }\boxed{\dfrac{-5}{\sqrt{26}}}$

Exercices formatifs WeBWorK

Cercle trigonométrique

En utilisant ce que nous avons vu dans la section précédente, on définit les fonctions trigonométriques de la façon suivante.

Lorsque l'angle se situe entre $0$ et $90^\circ$, le point est situé dans le premier quadrant et les définitions précédentes coïncident avec celles que nous avions données dans la section sur la trigonométrie du triangle.

Recherche des domaines

Le domaine des fonctions sinus et cosinus est l'ensemble des $\mathbb{R}$, car pour tout nombre réel $\theta$, les valeurs $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont définies.

Par contre, il en est tout autre pour les valeurs de $\tan(\theta)$, $\sec(\theta)$, $\cot(\theta)$ et $\csc(\theta)$, car on peut voir dans le tableau ci-dessus que ces expressions sont définies uniquement si leur dénominateur n'est pas égal à 0. Il est donc très utile de connaître les angles $\theta$ où les valeurs $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont égales à 0. En fait, ces angles $\theta$ sont ceux qui engendrent les points qui croisent les axes de coordonnées sur le cercle trigonométrique.

$\theta$	$\cos(\theta)$	$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$	$\sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}$
$\frac{\pi}{2}$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$
$\frac{3\pi}{2}$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$
$\frac{\pi}{2}+k\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$

$\theta$	$\sin(\theta)$	$\cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$	$\csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)}$
$0$ ou $2\pi$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$
$\pi$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$
$k\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$

La dernière ligne de chacun des tableaux indique que tous les angles qui annulent le cosinus ou le sinus sont nuls sont séparés par un angle de $180^{\circ}=\pi\text{ rad}$. On en déduit les domaines des autres fonctions trigonométriques.

On peut représenter les différentes fonctions trigonométriques par un graphique en utilisant l'angle $\theta$ comme abscisse et la valeur de la fonction trigonométrique comme ordonnée. Nous allons d'abord nous intéresser aux cas des fonctions sinus et cosinus.

Le sinus est obtenu en considérant l'ordonnée du point engendré par un angle $\theta$ sur un cercle de rayon 1. Dans le graphe ci-dessous, vous pouvez déplacer ce point sur la courbe de $y=\sin(\theta)$ à l'aide du curseur ou cliquer sur pour lancer l'animation. L'ordonnée du point P sur le cercle de droite, représentée par le segment bleu, varie en fonction de l'angle et est égal à la valeur de $y=\sin(\theta)$.

Le cosinus est quant à lui obtenu en considérant l'abscisse du point engendré par un angle $\theta$ sur un cercle de rayon 1. Dans le graphe ci-dessous, vous pouvez déplacer ce point sur la courbe de $y=\cos(\theta)$ à l'aide du curseur ou cliquer sur pour lancer l'animation. L'abscisse du point P sur le cercle de droite, représentée par le segment mauve, varie en fonction de l'angle et est égal à la valeur de $y=\cos(\theta)$.

On remarque que les ordonnées et les abscisses des points du cercle sont toutes comprises entre -1 et 1 inclusivement. Par conséquent,

Pour les autres fonctions trigonométriques, il faut savoir que plus on divise un nombre par une valeur proche de zéro, plus le résultat s'approche de $\pm \infty$. Ainsi, pour la tangente, puisque

les zéros du cosinus vont créer des asymptotes verticales. En illustrant le tout sur un graphe, on obtient

De la même façon, puisque

La sécante	La cosécante	La cotangente