3.1 La trigonométrie: Fonctions trigonométriques et leur domaine

5. Fonctions trigonométriques et leur domaine

En utilisant ce que nous avons vu dans la section précédente, on définit les fonctions trigonométriques de la façon suivante.

Définition :

Soit $\theta$ un angle. On appelle le cosinus la première coordonnée du point engendré par l'angle sur un cercle de rayon 1 centré à l'origine et le sinus la deuxième coordonnée. On les note respectivement $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$ .

cercle trigo

Par la suite, on définit les autres fonctions trigonométriques à partir du sinus et du cosinus. Ainsi

$\text{Si }\cos(\theta)\neq 0$ ,

$\begin{array}{lrl}\bullet &\tan(\theta)&=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\\[2em]\bullet&\sec(\theta)&=\dfrac{1}{\cos(\theta)}\end{array}$

$\text{Si }\sin(\theta)\neq 0$ ,

$\begin{array}{lrl}\bullet &\cot(\theta)&=\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\\[2em]\bullet &\csc(\theta)&=\dfrac{1}{\sin(\theta)}\end{array}$

Lorsque l'angle se situe entre $0$ et $90^\circ$ , le point est situé dans le premier quadrant et les définitions précédentes coïncident avec celles que nous avions données dans la section sur la trigonométrie du triangle.

Recherche des domaines

Le domaine des fonctions sinus et cosinus est l'ensemble des $\mathbb{R}$ , car pour tout nombre réel $\theta$ , les valeurs $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont définies.

$\text{dom}(\sin)=\mathbb{R}\text{ et }\text{dom}(\cos)=\mathbb{R}$

Par contre, il en est tout autre pour les valeurs de $\tan(\theta)$ , $\sec(\theta)$ , $\cot(\theta)$ et $\csc(\theta)$ , car on peut voir dans le tableau ci-dessus que ces expressions sont définies uniquement si leur dénominateur n'est pas égal à 0. Il est donc très utile de connaître les angles $\theta$ où les valeurs $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont égales à 0. En fait, ces angles $\theta$ sont ceux qui engendrent les points qui croisent les axes de coordonnées sur le cercle trigonométrique.

$\theta$	$\cos(\theta)$	$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$	$\sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}$
$\frac{\pi}{2}$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$
$\frac{3\pi}{2}$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$
$\frac{\pi}{2}+k\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$

$\theta$	$\sin(\theta)$	$\cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$	$\csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)}$
$0$ ou $2\pi$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$
$\pi$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$
$k\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$	$\pmb{0}$	$\nexists$	$\nexists$

La dernière ligne de chacun des tableaux indique que tous les angles qui annulent le cosinus ou le sinus sont nuls sont séparés par un angle de $180^{\circ}=\pi\text{ rad}$ . On en déduit les domaines des autres fonctions trigonométriques.

Soit $k\in\mathbb{Z}$ , alors

$\text{dom}(\tan)=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\rbrace$	$\text{dom}(\cot)=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace k\pi\right\rbrace$
$\text{dom}(\sec)=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\rbrace$	$\text{dom}(\csc)=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace k\pi\right\rbrace$

Exemples :

a) Trouver le domaine de la fonction $f(x)=\dfrac{\tan(2x)}{x-1}$ .

solution Réécrivons $f$ en fonction de sinus et cosinus.

$f(x)=\dfrac{\sin(2x)}{(x-1)\cos(2x)}$

Pour que $f$ soit définie, il faut que le dénominateur soit $\neq 0$ . On a que

$(x-1)\cos(2x) =0\Leftrightarrow\; (*)\;(x-1)=0\quad\text{ ou }\quad (**)\;\cos(2x)=0$

L'équation (*) se résout ainsi : $x-1=0\Leftrightarrow x=1$ .
L'équation (**) se résout ainsi :

$\begin{array}{ll}\cos(2x)=0&\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\text{ où }k\in\mathbb{Z},\\&\text{ car }\cos(\theta)=0\text{ si }\theta=\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\dots\\[1em]&\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}=\dfrac{\pi+2k\pi}{4}=\dfrac{(1+2k)\pi}{4}\end{array}$

Par conséquent, le domaine de $f(x)=\dfrac{\tan(2x)}{x-1}$ est :

$\boxed{\text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace 1,\frac{(1+2k)\pi}{4}\right\rbrace}$ où $k\in\mathbb{Z}$ .

b) Trouver le domaine de la fonction $g(x)=\sin\left(\dfrac{x}{1+x}\right)$

solution Il s'agit d'une fonction composée et son domaine dépend du domaine de $\sin(\theta)$ où $\theta=\frac{x}{1+x}$ et du domaine de la fonction $\dfrac{x}{1+x}$ .

Le domaine de la fonction sinus est l'ensemble des réels, alors il n'y a aucune restriction à donner sur $x$ .
Le domaine de la fonction $\dfrac{x}{1+x}$ est $\mathbb{R}\setminus\lbrace -1\rbrace$ , car le dénominateur est nul lorsque $x=-1$ .

Par conséquent, le domaine de $g(x)=\sin\left(\dfrac{x}{1+x}\right)$ est : $\boxed{\text{dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\lbrace -1\rbrace}$