3.1 La trigonométrie: Cercle trigonométrique

4. Cercle trigonométrique

Considérons un cercle de rayon 1 et un point $(a,b)$ de ce cercle. Si le point est situé dans le premier quadrant, il détermine un triangle rectangle.

Étant donné ce que nous avons vu sur la trigonométrie dans le triangle, puisque l'hypoténuse mesure $1$ unité, on déduit que

$\cos(\theta) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}} = \dfrac{a}{1}=a$
$\sin(\theta) = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \dfrac{b}{1}=b$

c'est-à-dire que la première coordonnée correspond au cosinus de l'angle et la deuxième, au sinus. On va étendre les définitions des fonctions trigonométriques en posant que $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ sont les coordonnées sur le cercle du point engendré par un angle de $\theta$ . De cette façon, on peut déduire les valeurs des angles remarquables en procédant par symétrie.

Les signes du sinus de $\theta$ et du cosinus de $\theta$ sont déterminés par la position du point sur le cercle, plus précisément par le quadrant dans lequel ce point est situé.

Tout d'abord, puisque le cercle est de rayon 1, il est facile de déduire qu'il coupe les axes aux coordonnées

Ces points correspondent aux angles suivants en radians.

Étant donné ce que nous avons calculé précédemment dans la trigonométrie du triangle, on peut déduire les valeurs suivantes. En effet, la première coordonnée correspond au cosinus et la deuxième, au sinus de l'angle en question.

$\theta$	$\cos(\theta)$	$\sin(\theta)$
$0$ ou $2\pi$	$1$	$0$
$\frac{\pi}{2}$	$0$	$1$
$\pi$	$-1$	$0$
$\frac{3\pi}{2}$	$0$	$-1$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Par la suite, en procédant par symétrie, on peut déduire l'ensemble des valeurs particulières du cercle trigonométrique.

Exemple : Calculons les coordonnées du point P situé à un angle $\dfrac{31\pi}{6}$ radians sur le cercle trigonométrique.

solution Chaque tour de cercle dans le sens antihoraire correspond à un angle de $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$ . Par conséquent,

$P\left(\dfrac{31\pi}{6}\right)=P\Bigl(\underset{\text{2 tours}}{\underbrace{\dfrac{24\pi}{6}}}+\dfrac{7\pi}{6}\Bigr)=P\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$

Les coordonnées du point $P\left(\dfrac{31\pi}{6}\right)$ sont les mêmes que celles du point $P\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$ , soit $\boxed{\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2},\dfrac{-1}{2}\right)}$ .

Exemple : Évaluons chacun des nombres suivants.

$\text{a) }\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\boxed{\sqrt{3}}$

$\text{b) }\sec\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)}=\dfrac{1}{\frac{-\sqrt{2}}{2}}=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\boxed{-\sqrt{2}}$

Angles_remarquables $\begin{array}{ll}\text{c) }\cot\left(\dfrac{-15\pi}{2}\right)&=\cot\Bigl(\underset{\text{3 tours}}{\underbrace{\dfrac{-12\pi}{2}}}+\dfrac{-3\pi}{2}\Bigr)\\[2em]&=\cot\left(\dfrac{-3\pi}{2}\right)=\cot\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\\[1em]&=\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}\\[1em]&=\dfrac{0}{1}\\[1em]&=\boxed{0}\end{array}$

Exemple : Sachant que $\tan(\theta)=\dfrac{1}{5}$ pour $\theta\in\left[0, 2\pi \right]$ , déterminer les valeurs de $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ .

solution On sait que pour tout angle $\theta$ , la fonction tangente est le rapport constant $\frac{\text{opp}}{\text{adj}}$ . Par conséquent, nous allons créer un triangle rectangle respectant ce rapport trigonométrique,

$\tan(\theta)=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}=\dfrac{1}{5}$

Ainsi le côté opposé à l'angle est 1 et le côté adjacent est 5. Par le théorème de Pythagore, nous trouvons l'hypoténuse :

$\text{hyp} =\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$

Étant donné que l'angle $\theta$ prend des valeurs entre $0$ et $2\pi$ , les valeurs de $\sin(\theta)$ et $\cos(\theta)$ sont déterminées par les coordonnées des points sur le cercle situés dans le premier quadrant $(+,+)$ ou le troisième quadrant $(-,-)$ . En effet,

$\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\dfrac{+1}{+5}=\dfrac{-1}{-5}=\dfrac{1}{5}$

Ainsi, en lisant le triangle rectangle, on peut calculer les rapports demandés.

$\sin(\theta)=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{26}}}\text{ ou }\boxed{\dfrac{-1}{\sqrt{26}}}$

$\cos(\theta)=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\boxed{\dfrac{5}{\sqrt{26}}}\text{ ou }\boxed{\dfrac{-5}{\sqrt{26}}}$

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4. Cercle trigonométrique

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