4. Points d'intersection avec les axes

Les points d'intersection avec les axes présentent un intérêt particulier pour l'analyse d'une fonction. Ces points sont appelés abcisse à l'origine et ordonnée à l'origine.

\blacktriangleright Abcisse à l'origine

Les points d'intersection du graphique d'une fonction f avec l'axe horizontal sont tous les points du graphique de la forme \left({a,0}\right).

De plus, la valeur x=a est un zéro de la fonction f, car f(a)=0. Ainsi, le nombre de points d'intersection du graphique avec l'axe des x est égal au nombre de zéros de la fonction. On peut en déduire que si une fonction n'a aucun zéro, son graphique ne coupe jamais l'axe horizontal.

Un zéro d'une fonction f est une valeur de x appartenant au domaine de f pour laquelle

f(x)=0.

De plus, par le théorème de factorisation,
a est un zéro de la fonction f \Leftrightarrow \left({x-a}\right) est un facteur de f(x).

Par conséquent, si une fonction est définie par un produit de facteurs, on peut facilement trouver ses zéros.


Graphique

Exemple :

Trouvons, si possible, les zéros de la fonction f(x)=\dfrac{x\left({2x-5}\right)}{x-2}.

Pour trouver les zéros de la fonction f, il suffit de trouver les solutions de l'équation f(x) = 0 qui appartiennent au domaine.

\text{dom}f = \mathbb{R} \setminus \{2\}, car le dénominateur x-2 = 0 si x=2.

\begin{array}{lcl} \dfrac{x\left({2x-5}\right)}{x-2} =0 & \Leftrightarrow & x\left({2x-5}\right)=0 \\[0.8em] & \Leftrightarrow & x =0 \text{ ou } 2x-5 = 0 \\[0.8em] & \Leftrightarrow & x =0 \text{ ou } x = \frac{5}{2} \end{array}

Étant donné que ces deux valeurs appartiennent au domaine, la fonction possède deux zéros : x=0 et x = \dfrac{5}{2}.

Les points \left({0,0}\right) et \left({\frac{5}{2},0}\right) sont donc les points où la courbe croise l'axe des x.

\blacktriangleright Ordonnée à l'origine

L'ordonnée du point de rencontre de la courbe f avec l'axe des y est appelée ordonnée à l'origine.

Il s'agit de la valeur f(0).

Ce point d'intersection est unique, car la valeur x=0 ne peut avoir qu'une seule image par la fonction f.


Graphique

Exemple :

Soit la fonction f(x)=2x^3-3x^2-27. Trouvons, si possible, tous les zéros de la fonction f sachant que le point \left({3,0}\right) est une abscisse à l'origine.

Il faut d'abord factoriser le polynôme 2x^3-3x^2-27 afin de résoudre l'équation f(x) = 0.

Étant donné que x=3 est une solution de l'équation, alors par le théorème de factorisation, \left({x-3}\right) est un facteur de 2x^3-3x^2-27. Nous obtenons donc que

2x^3-3x^2-27 = \left({x-3}\right) q(x), où q(x) est un polynôme de degré 2.

Nous pouvons trouver le polynôme q(x) en effectuant la division suivante:

q(x) = \dfrac{2x^3-3x^2-27}{x-3} \Rightarrow \begin{array}{rl}2x^3-3x^2-27&\left|\underline{x-3}\right.\\\underline{-\left( 2x^3 - 6x^2\right)}&\; 2x^2+3x + 9\\3x^2 -27&\\\underline{-\left(3x^2 - 9x\right)}&\\9x-27&\\\underline{-\left(9x - 27\right)}&\\0&\end{array}

On peut donc écrire 2{x^3}-3{x^2}-27 = \left({x-3}\right)\left({2{x^2}+3x+9}\right).
Or, le polynôme 2{x^2}+3x+9 est non factorisable, car son discriminant \Delta = {b^2}-4ac = -27 < 0.

Alors x=3 est la seule solution de l'équation 2x^3-3x^2-27 = \left({x-3}\right)\left({2x^2+3x+9}\right) = 0.

Donc la fonction \pmb{f} possède comme seul zéro \pmb{x=3}.

De plus, l'ordonnée à l'origine est \pmb{f(0) = -27}. Ainsi, le graphique coupe l'axe des y au point \left({0,-27}\right).