1.4 Les équations

2. Principes pour résoudre des équations

Utiliser les opérations élémentaires $(+ - \times \text{ et } \div)$ pour transformer l'équation initiale de façon à obtenir une ou plusieurs équations équivalentes de la forme $x=c$ où $c$ est une constante.
Ne jamais multiplier ou diviser une équation par 0.
Toujours vérifier la solution dans l’équation initiale.
Si une équation peut être transformée en une équation quadratique de la forme $a{x^2} + bx + c = 0$ , il suffit de trouver les zéros du polynôme $a{x^2} + bx + c$ à l'aide d'une des deux méthodes suivantes :
1. En factorisant (si possible) et en utilisant la règle du produit nul. Cette règle dit que le produit de deux ou plusieurs facteurs est égal à 0 si et seulement si l'un de ces facteurs est égal à 0 $\left( {p \times q = 0 \Leftrightarrow p = 0 \text{ ou }q = 0 } \right)$ .
2. En utilisant la formule quadratique $\dfrac{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a} \text{ où } a \ne 0$ .

Exemple : Résoudre l'équation $3(1-x)=\dfrac{x}{2}-5$ .

Le domaine est $\mathbb{R}$ .

Résolution :

$\begin{array}{rll} \Rightarrow 3-3x &= \dfrac{x}{2}-5 & \scriptsize{\text{on distribue le 3 dans la parenthèse}}\\\Rightarrow 3+5&=\dfrac{x}{2}+3x & \scriptsize{\text{on regroupe du même côté les termes contenant }x}\\ \Rightarrow 8 &=\dfrac{x+6x}{2}& \\ \Rightarrow 16&= 7x &\\ \Rightarrow x&=\boxed{\dfrac{16}{7}}&\scriptsize{\text{c'est la solution de l'équation sous la forme }x=c} \end{array}$

Vérification : Remplaçons $x = \frac{16}{7}$ dans l'équation initiale.

$\begin{array}{rl}3\left(1-\dfrac{16}{7}\right) &\stackrel{?}{=} \dfrac{16/7}{2}-5 \\ \Rightarrow \dfrac{-27}{7} &= \dfrac{-54}{14}=\dfrac{-27}{7}\end{array}$

Exemples : Résoudre les équations suivantes.