3.3 Fonctions trigonométriques inverses

Afin qu'une fonction $f$ possède une fonction réciproque, $f^{-1}$, il faut que $f$ soit une fonction injective, c'est-à-dire qu´à toute valeur $y=f(x)$ corresponde une seule valeur de $x$. Or, on constate que la fonction sinus n'est pas une fonction injective et donc ne possède pas de fonction réciproque.

En effet, en observant le graphique de la fonction $f(x)=\sin(x)$, il existe une droite horizontale qui coupe la courbe de sinus en plusieurs points d'intersection. Cela a comme conséquence que la courbe réciproque de sinus n'est pas une fonction par définition (voir le graphe de droite). Par exemple, il existe plus qu'une image $y$ associée à la valeur $x=\frac{1}{2}$, soit entre autres, $y=\frac{\pi}{6}$ et $y=\frac{5\pi}{6}$.

$\Rightarrow$

Par conséquent, pour créer la fonction réciproque arcsinus, il faut restreindre le domaine de sinus pour rendre cette fonction injective. Par convention, c'est sur l'intervalle des valeurs $x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ qu'est définie notre fonction injective $f(x)=\sin(x)$, représentée par la courbe rouge ci-dessus. Nous pouvons alors définir la fonction arcsinus de la façon suivante.

La fonction arcsinus est telle que

$y=\arcsin(x) \Leftrightarrow x=\sin(y)$ où $y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$

Donc $\text{dom}(\arcsin)=[-1,1]$

et $\text{ima}(\arcsin)=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$

Exemple : Trouver la valeur de $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$,

solution On a par définition que

$y=\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\Leftrightarrow-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin(y)$ où $y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$

On cherche donc l'angle du domaine de arcsin à donner à la fonction sinus pour obtenir $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

À partir du cercle trigonométrique, on a que

$\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{-\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Par conséquent, $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\boxed{-\frac{\pi}{4}}$.