2.2 Les fonctions algébriques

Exemples : Trouvons le domaine des fonctions suivantes.

a) Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{-x^2+x+6}$.

Le domaine de cette fonction dépend des deux restrictions suivantes :

1. Le dénominateur doit être non nul, c'est-à-dire $-x^2+x+6\neq 0$. Trouvons ces valeurs en factorisant :

   $\begin{array}{ll} -x^2+x +6 &= -(x^2-x-6)\\ &= -(x-3)(x+2) \\&= (3-x)(x+2)\end{array}$.

   Ainsi, on veut que $x\neq -2$ et $x\neq 3$.

2. L'expression à l'intérieur de la racine carrée doit être non-négative, c'est-à-dire $x+1\geq 0 \Rightarrow x \geq -1$.

En combinant ces deux restrictions (voir la droite des réels ci-dessus), on obtient le domaine de $f$, soit $\text{dom }f = \left[-1,3\right[ \cup \left] 3, \infty \right[$. On remarque que $-2 < -1$ et il s'agit donc d'une valeur qui est déjà enlevée à cause de la deuxième restriction.

b) Soit $f(x) = \dfrac{x-5}{x+\sqrt{x+6}}$.

1. Le dénominateur doit être non nul, c'est-à-dire $x+\sqrt{x+6}\neq 0$.

   Pour trouver ces valeurs, nous allons résoudre l'équation $x+\sqrt{x+6} = 0$ en commençant par isoler la racine dans l'équation. Voici la démarche

   $\begin{array}{lll} x+\sqrt{x+6} = 0 &\Rightarrow \sqrt{x+6} = -x &\small{\text{; il faut que } x\leq 0 \text{ pour que }\sqrt{x+6} \text{ soit positive}}\\ &\Rightarrow \left(\sqrt{x+6}\right)^2 = (-x)^2 &\small\text{; élevons au carré} \\ &\Rightarrow x+6 = x^2 & \\&\Rightarrow 0 = x^2-x-6 & \\ &\Rightarrow 0 = (x-3)(x+2) &\small\text{; factorisons}\\ &\Rightarrow \small{\text{si }x=3 \text{ ou } x=-2} &\small{\text{; seule }x=-2 \text{ est une solution, car }\leq 0.}\\ &&\;\small{\text{si }x=3\text{, on aurait une valeur impossible :}\sqrt{3+6}=-3 }\end{array}$

   Ainsi, on veut que $x\neq -2$, afin que le dénominateur soit non nul.

2. L'expression à l'intérieur de la racine carrée doit être non-négative, c'est-à-dire $x+6\geq 0 \Rightarrow x \geq -6$.

En combinant les deux restrictions, on obtient : $\text{dom }f = \left[-6,-2\right[ \cup \left] -2,\infty\right[$.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = \sqrt{1-\dfrac{5}{x+4}}$.

Pour respecter la première restriction, il faut résoudre l'inéquation $1 -\dfrac{5}{x+4} \geq 0$. En transformant cette inéquation sous la forme $\frac{P}{Q}\geq 0$, on obtient :

$\begin{array}{ll} 1-\dfrac{5}{x+4} \geq 0 & \Rightarrow \dfrac{(x+4)-5}{x+4} \geq 0\\[0.8em] &\Rightarrow \dfrac{x-1}{x+4} \geq 0 \end{array}$

Sachant que le numérateur $(x-1)$ est nul si $x=1$ et que le dénominateur $(x+4)$ est nul si $x=-4$, on peut remplir le tableau de signes suivant pour résoudre l'inéquation.

On obtient que $\text{dom }f = \left]-\infty,-4\right[ \cup \left[1,\infty\right[$. On remarque que $x=-4$ n'appartient pas au domaine de $f$ cette valeur entraîne un dénominateur nul.

Voici un graphique Geogebra pour illustrer la fonction et le calcul d'images pour certaines valeurs de $x$. Déplacez le curseur b avec votre souris pour voir la valeur de l'image f(b). En même temps, le point bleu $(b,f(b))$ se déplace sur la courbe de la fonction $f(x)=\sqrt{1-\frac{5}{x+4}}$. Remarquez les valeurs de b qui font partie du domaine de $f$.