2. Domaine et image

Les fonctions sont souvent exprimées par une équation qui relie la variable x à son image. Ainsi, lorsque l'on veut déterminer l'image de \pmb{x} par la fonction \pmb{f}, il suffit de remplacer x dans l'équation par sa valeur ou son expression afin d'obtenir son image f(x) ou y.

On peut imaginer que la fonction f agit comme une machine qui effectue une transformation de x.

Exemple :

Considérons la fonction réelle f = \bigl\{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \vert \; y = 3x^2+4} \bigr\}.

Lorsque l'on introduit x dans la machine f, celle-ci fait subir à x les transformations de l'opération 3x^2+4 afin d'obtenir f(x) à la sortie. C'est-à-dire que x est élevé au carré, ensuite le résultat est multiplié par 3 et finalement, ce dernier est ajouté à 4.

Ainsi, si on y introduit :

  • la valeur réelle x=5, l'image de 5 par la fonction f est
    f(5) = 3\left({5^2}\right) + 4 = 3\left({25}\right) + 4 = 79
    et le couple \left({x,y}\right)=\left({5,79}\right) \in f.
  • le symbole x=\Delta, l'image de \Delta par la fonction f est
    f(\Delta)=3\Delta^2+4
    et le couple \left({\Delta,3\Delta^2+4}\right) \in f.
  • l'expression x=a+h, l'image de a+h par la fonction f est f(a+h)=3\left({a+h}\right)^2+4=3\left({a^2+2ah+h^2}\right)+4=3a^2+6ah+3h^2+4
    et le couple \left({a+h,3a^2+6ah+3h^2+4}\right) \in f.

  • Par contre, si l'on veut calculer l'expression f(a)+h, on obtient plutôt :

    f(a)+h=\left(3a^2+4\right)+h=3a^2+4+h

Il est très important de noter que \pmb{f(a+h) \neq f(a) + h}.



Il existe également plusieurs fonctions pour lesquelles une valeur réelle x ne possède pas d'image réelle y=f(x).

Exemple :

Considérons la fonction réelle g = \left\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \Bigl\vert \; y = \dfrac{\sqrt{x+2}}{x} \right\rbrace. On a

  • g(7) = \dfrac{\sqrt{7+2}}{7} = \dfrac{\sqrt{9}}{7} = \dfrac{3}{7} et le couple \left({7,\frac{3}{7}}\right) \in g.
  • g(-3)=\dfrac{\sqrt{-3+2}}{-3}=\dfrac{\sqrt{-1}}{-3}
    g(-3) n'existe pas, car \frac{\sqrt{-1}}{-3} n'est pas un nombre réel étant donné la racine carrée d'un nombre négatif.
    Le couple \left({-3,g(-3)}\right) \notin g.
  • g(0)=\dfrac{\sqrt{0+2}}{0} = \dfrac{\sqrt{2}}{0}
    g(0) n'existe pas, car \frac{\sqrt{2}}{0} \notin \mathbb{R} étant donné la division par zéro.
    Le couple \left({0,g(0)}\right) \notin g.
  • g(a^2-2) = \dfrac{\sqrt{(a^2-2)+2}}{(a^2-2)}=\dfrac{\sqrt{a^2}}{a^2-2}=\dfrac{|a|}{a^2-2}
    Le couple \left(a^2-2,\frac{|a|}{a^2-2}\right)\in g\;\;\forall\; a\in\mathbb{R}\setminus\lbrace \pm\sqrt{2}\rbrace.

Par conséquent, l'équation y=f(x) qui définit la relation qui existe entre les variables réelles x et y permet de déterminer quels éléments de l'ensemble de départ \mathbb{R} possèdent une image dans l'ensemble d'arrivée \mathbb{R}. L'ensemble des éléments possédant une image forme le domaine de la fonction f et l'ensemble des images forme le codomaine de la fonction f.