8. Théorème de la factorisation


Dans certain cas, nous pouvons également utiliser la division polynomiale pour nous aider à factoriser en déterminant auparavant un facteur \left( {x - a} \right).
Afin de trouver ce facteur, il faut appliquer le théorème de la factorisation :

Soit p(x), un polynôme de degré n, alors
(x-a) est un facteur de p(x) \Leftrightarrow x=a est un zéro de p(x), donc si et seulement si p(a)=0.

Exemple 1 : Factorisons le polynôme x^3 + x^2 - x -1 sachant que x=1 est un zéro du polynôme.

Sachant que x = 1 est un zéro de (x^3 + x^2 - x -1), c'est-à-dire que

x^3 + x^2 - x -1 = 0 lorsque x = 1,

alors (x - 1) est un facteur linéaire de notre polynôme (de même, x - 1 = 0 lorsque x = 1).

Par conséquent, nous pouvons écrire :

x^3 + x^2 - x -1 = (x - 1) q(x)
où q(x) est un polynôme quadratrique de la forme ax^2+bx+c

Nous trouvons le trinôme q(x) en effectuant la division polynomiale suivante.

q(x) = \dfrac{x^3 +x^2-x-1}{x-1} \Rightarrow \begin{array}{ll}{\phantom{-(\;}x^3+x^2-x-1}&{\left| {\underline {x - 1} } \right. }\\{\underline {- \left( {{x^3} -x^2} \right)} }&{x^2 + 2x + 1}\\\phantom{-(\;}{2x^2 -x-1}&{}\\{\underline {-\left( {2x^2 -2x} \right)}}&{}\\\phantom{-(\;}{x-1}&{}\\{\underline {-\left( {x-1} \right)}}&{} \\{\quad\quad 0}&{}\end{array}

Ainsi,

x^3+x^2-x-1 = \left( {x-1} \right) \left( {x^2+2x+1} \right) .

Attention! La factorisation n'est pas terminée, car le facteur quadratique est réductible. On a que

x^2+2x+1 = (x+1)^2

La réponse finale est donc

x^3+x^2-x-1 = \left( {x-1} \right) \left( {x+1} \right)^2 .

Exemple 2 : Factorisons le binôme {x^3} + 8.

Cherchons un zéro de {x^3} + 8, c'est-à-dire un nombre x = a tel que {x^3} + 8 = 0.

Ce nombre est x = - 2, car (- 2)^3 + 8 = 0. Par conséquent, le facteur du polynôme x^3+8 est

(x- (-2)) = (x + 2).

Nous avons donc

x^3 + 8 = \left( {x + 2} \right)q(x) où q(x) est un polynôme de degré 2.

Nous trouvons le polynôme q(x) en effectuant une division polynomiale.

q(x) = \dfrac{{x^3} + 8}{x+2} \Rightarrow \begin{array}{rl}{{x^3} + 8}&{\left| {\underline {x + 2} } \right. }\\{\underline {- \left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)} }&{ \; {x^2} - 2x + 4}\\{-2{x^2} + 8}&{}\\{\underline {-\left( {-2{x^2} - 4x} \right)}}&{}\\{4x+8}&{}\\{\underline {-\left( {4x + 8} \right)}}&{} \\{0}&{}\end{array}


Ainsi, nous obtenons {x^3} + 8 = \left( {x + 2} \right) \left( { {x^2} - 2x + 4 } \right)

Remarque : La factorisation est complète, car le facteur quadratique x^2-2x+4 est irréductible puisque son discriminant b^2-4ac = -12 < 0. Nous retrouvons le même résultat que celui obtenu en appliquant la formule de la somme de cubes.