4. Polynômes quadratiques

4.2. Trinôme général


a{x^2} + bx + c = a{x^2} + \left( {ux + vx} \right) + c
où b = u + v et ac = uv

On peut factoriser un trinôme général en suivant les étapes suivantes :

1. On cherche deux nombres u et v, dont la somme est {b} et le produit est {ac}.

u + v =b \text{ et }uv = ac

2. On remplace {b} par la somme de ces deux nombres.

3. On effectue une mise en évidence double.


Exemples : Factorisons les trinômes suivants.

a)

\pmb{{x^2} - 5x + 36}

On cherche deux nombres tels que

u + v =b = - 5 \text{ et }uv = ac = 36

- 9 + 4 = - 5 \quad\text{ et }\quad\left( { - 9} \right)\left( 4 \right)= - 36

On effectue ensuite une double mise en évidence de la façon suivante :

\begin{array}{rl}{{x^2}- 5x + 36}&{= {x^2} - 9x + 4x + 36}\\{}&{= x\left( {x - 9} \right) + 4\left( {x - 9}\right)}\\{}&{= \left( {x - 9} \right)\left( {x + 4} \right)}\end{array}



Remarque : Si a=1, le trinôme de la forme {x^2} + bx + c peut se factoriser plus directement de la façon suivante :

{x^2} + bx + c = \left( {x + u} \right)\left( {x + v} \right)

b)

\pmb{6{x^2} - 7x - 3}

On cherche deux nombres tels que

u + v =b = - 7 \text{ et } uv = ac= - 18

- 9 + 2 = - 7 \text{ et }\left( { - 9} \right)\left( 2 \right)= - 18

On effectue ensuite une double mise en évidence :

\begin{array}{rl}{6{x^2} + 7x - 3}&{= 6{x^2} - 9x+ 2x - 3}\\{}&{= 3x\left( {2x - 3} \right) + \left( {2x - 3} \right)}\\{}&{= \left( {2x- 3} \right)\left( {3x + 1} \right)}\end{array}

c)

\pmb{x^4-x^2-12}

Tout d'abord, remarquons que x^4 = (x^2)^2. Remplaçons t=x^2 afin d'exprimer notre polynôme en x de degré 4 en un polynôme en t de degré 2. Nous obtenons

x^4 - x^2 - 12 = (x^2)^2 - x^2 -12 = t^2 - t - 12

Notre polynôme est maintenant sous la forme t^2 + bt + c. Pour le factoriser, on cherche deux nombres tels que

u + v =b = -1\text{ et } uv = c= - 12

On a -4+3=-1 et -4\times 3 = -12.

On obtient alors :

\begin{array}{rll} t^2-t-12 &= \left(t-4\right)\left(t+3\right)&\\&=\left(x^2-4\right)\left(x^2+3\right)&; t=x^2\\&=(x-2)(x+2)(x^2+3)&; x^2-4 \small\text{ est une différence de carrés }\end{array}

Par conséquent, x^4-x^2-12 = (x-2)(x+2)(x^2+3).