2.4 Opérations sur les fonctions

On utilise la réciproque d'une fonction $y = f(x)$ lorsqu'on veut exprimer la variable $x$ en fonction de la variable $y$, c'est-à-dire : $x=f^{-1}(y)$. Par contre, ce ne sont pas toutes les fonctions qui possèdent une fonction réciproque.

Comparons les deux diagrammes sagittaux des fonctions $f$ et $g$ ci-dessous. On observe que pour chaque valeur $y= f(x)$ de l'ensemble B, on associe une seule valeur $x$ de l'ensemble A. Ce n'est pas le cas pour la fonction $g$. En effet, $g(2)=4$ et $g(-2)=4$, ce qui implique qu'il existe deux valeurs de $x$ associées à la même valeur de $y$.

Ainsi, pour la fonction $g$, la relation qui associe les variables $y$ de l'ensemble B aux variables $x$ de l'ensemble A ne respecte pas la définition d'une fonction.

On dira que $f$ est une fonction injective, et donc possède une fonction réciproque, notée $f^{-1}$. La fonction $g$ quant à elle n'est pas injective et ne possède donc pas de fonction réciproque.

Une fonction est injective si elle n'associe pas la même valeur de $y=f(x)$ à deux valeurs distinctes de $x$.

Graphiquement, la fonction $f$ est injective si toutes droites horizontales coupent la courbe en un seul point d'intersection.

Nous pouvons maintenant définir la réciproque d'une fonction de la façon suivante :

Si $f$ est une fonction injective, alors la fonction réciproque de $f$, notée $f^{-1}$, est la fonction qui associe à la valeur $y=f(x)$, la valeur $x$. C'est-à-dire

$f^{-1}(y)=x$

$\Rightarrow \left({f^{-1} \circ f}\right)(x)=f^{-1}(f(x))=x$

de même $f\left({f^{-1}(x)}\right)=x$

De plus, on a que

$\text{dom }f^{-1} = \text{ima }f \text{ et } \text{ima }f^{-1} = \text{dom }f$.

Afin de trouver la règle de la fonction réciproque de $f$, il suffit de poser $x=f(y)$ et d'isoler la variable $y$.

Exemple

Déterminons si la fonction $f(x)=\left({x-1}\right)^3+2$ est injective. Si oui, trouvons la fonction réciproque de $f$.

Pour toutes valeurs $x_1 \not= x_2$, on a que $\left({x_1 -1}\right)^3+2 \not=\left({x_2 -1}\right)^3+2$. En effet, en observant le graphique, on remarque que deux valeurs différentes de $x$ ne peuvent pas avoir la même image. De plus, le test de la droite horizontale confirme que $f$ est injective.

Afin de trouver la fonction réciproque de $y = \left({x-1}\right)^3+2$ , procédons comme suit. Posons

$x = \left({y-1}\right)^3+2$

Isolons la variable $y$ dans l'équation.

$\begin{array}{rll} x-2 &=&\left({y-1}\right)^3 \\ \left({x-2}\right)^{1/3} & =&y-1 \\ \sqrt[3]{x-2}+1 &=&y \end{array}$

Ainsi, la fonction réciproque de $f$ est définie par $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}+1$.

De plus, la composition de la fonction $f$ et de la fonction réciproque $f^{-1}$ nous donne la formule de réciprocité souhaitée :

$\begin{array}{ll} (f^{-1} \circ f)(x) & = f^{-1}(f(x))\\ &=\sqrt[3]{\pmb{\Big({(x-1)^3+2}\Big)}-2}+1\\ &=\sqrt[3]{(x-1)^3}+1\\ &=x-1+1\\f^{-1}(f(x))&=x \end{array}$

Remplacer $x$ par $y$ pour trouver la fonction réciproque est également la méthode utilisée pour obtenir le graphique de $f^{-1}$ à partir du graphique de $f$.

Soit un point $(a,b)$ appartenant à la fonction $f$, alors par définition $f(a) = b$ si et seulement $f^{-1}(b) = a$. Par conséquent le point $(b,a)$ appartient à la fonction réciproque $f^{-1}$.

On remarque dans la figure ci-dessous que l'on obtient le point $(b,a)$ par une réflexion du point $(a,b)$ par rapport à la droite $y=x$.

Donc,

Nous pouvons illustrer cette dernière définition à partir de l'exemple précédant en traçant les graphiques de $f(x)=\left({x-1}\right)^3+2$ et de $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}+1$.

Fonction racine carrée définie comme réciproque de la fonction quadratique

On remarque que la fonction quadratique $y=x^2$ n'est pas une fonction injective sur son domaine, alors elle ne peut malheureusement pas avoir de fonction réciproque. En effet, pour une valeur de $y$, il existe deux valeurs de $x$ distinctes.

Par contre, si l'on définit $f(x) = x^2$ sur le domaine restreint $[{0, \infty}[$, elle possède alors une fonction réciproque déterminée ainsi :

À partir du graphique Geogebra suivant, vous pouvez étudier la construction du graphique de la fonction $y=\sqrt{x}$ à partir de la fonction $y=x^2$ où $x \geq 0$. Sa représentation correspond à la branche bleue de la parabole.

Exercices formatifs WeBWorK

Fonction réciproque