2.4 Opérations sur les fonctions

Prenons, par exemple, deux fonctions $f$ et $g$ définies respectivement par $f(x) =\dfrac{1}{x-4}$ et $g(x)=x^2$. Lorsqu'on veut calculer l'image de $x=3$ par la fonction composée de $f$ et $g$, il faut d'abord calculer l'image de $3$ par la fonction $g$, soit $g(3)$, et ensuite calculer l'image de $g(3)$ par la fonction $f$, soit $f\left({g(3)}\right)$. Ainsi,

$g(3)=3^2=9 \Rightarrow f\left({g(3)}\right)=f(9)=\dfrac{1}{9-4}=\dfrac{1}{5}$

La règle de la fonction composée $f \circ g$ est obtenue en substituant $g(x)$ dans l'équation de la fonction $f$.

$(f \circ g)(x)=f\left({g(x)}\right) = f\left({x^2}\right) = \dfrac{1}{x^2-4}$

Dans l'exemple précédent, lorsque $x = -2$, on a $g(-2) = (-2)^2 = 4$, mais $f(x) = \dfrac{1}{x-4}$ n'est pas définie en 4, car il y a division par zéro. Ainsi $f(4)$ n'existe pas et par conséquent $f(g(-2)$ n'existe pas.

On a donc que $x=-2$ n'appartient pas au domaine de la fonction composée $f \circ g$ et, pour les mêmes raisons, on aura aussi que $x=2$ n'appartient pas au domaine.

Par conséquent, $\text{dom}f \circ g =\mathbb{R} \setminus \{-2,2\}$.

Exemple : Si $f(x) = \sqrt{x+2}$ et $g(x) = \dfrac{3}{x-1}$, déterminer la règle et le domaine des fonctions composées $f \circ g$ et $g \circ f$.

a) $(f \circ g)(x) =f\left({g(x)}\right)=f\left({\dfrac{3}{x-1}}\right) = \sqrt{\dfrac{3}{x-1}+2}$

1. Pour que $\dfrac{3}{x-1}$ soit définie, il faut que $x \neq 1$.

2. Pour que $\sqrt{\dfrac{3}{x-1}+2}$ soit définie, il faut que $\dfrac{3}{x-1}+2 \geq 0$, c'est-à-dire que $\dfrac{3}{x-1} \geq -2$, donc que $g(x) \geq -2$. Résolvons à l'aide d'un tableau de signes.

   $\begin{array}{ll} \dfrac{3}{x-1} + 2 \geq 0 & \Leftrightarrow \dfrac{3 + 2(x-1)}{x-1} \geq 0 \\[0.8em] {} & \Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{x-1} \geq 0 \end{array}$

   	$\left]{-\infty,-\frac{1}{2}}\right[$	$-\frac{1}{2}$	$\left]{-\frac{1}{2},1}\right[$	$1$	$\left]{1,\infty}\right[$
   $\dfrac{2x+1}{x-1}$	$+$	$0$	$-$	$\not\exists$	$+$

Le domaine de $f \circ g$ est donc $\left]{-\infty,-\frac{1}{2}}\right] \cup \left]{1,\infty}\right[$.

b) $(g \circ f)(x) = g\left({f(x)}\right) = g\left({\sqrt{x+2}}\right) = \dfrac{3}{\sqrt{x+2}-1}$

1. Pour que $\sqrt{x+2}$ soit définie, il faut que $x \geq -2$.

2. Pour que $\dfrac{3}{\sqrt{x+2}-1}$ soit définie, il faut que $\sqrt{x+2}-1 \neq 0$, c'est-à-dire que $\sqrt{x+2} \neq 1$, donc que $f(x) \not= 1$. Résolvons.

   $\begin{array}{ll} \sqrt{x+2} \not= 1 & \Leftrightarrow \left({\sqrt{x+2}}\right)^2 \not= 1^2 \\[0.8em] {} & \Leftrightarrow x+2 \not= 1 \\[0.8em] {} & \Leftrightarrow x \not= -1 \end{array}$

Le domaine de $g \circ f$ est donc $\left[{-2,-1}\right[ \cup \left]{-1,\infty}\right[$.

À partir du graphique Geogebra ci-dessus, on remarque que le domaine d'une fonction composée n'est pas toujours ce que l'on croit.

Prenons $g(x)=\sqrt{x}$ et $f(x)=x^2+1$.

On a que $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \left({\sqrt{x}}\right)^2 + 1$. En simplifiant, on obtient $f(g(x)) = x + 1$.

Or, on sait que le domaine de la droite $y=x+1$ est : $\mathbb{R}$.

Pourtant, le domaine de la fonction composée $f \circ g$ est : $\text{dom }f \circ g = [0, +\infty[$.

En effet, pour que $x$ appartienne au domaine de $f \circ g$, il faut que

$x$ appartienne au domaine de $g$, donc que $x \in \text{dom}\left({\sqrt{x}}\right) \Rightarrow x \in [0, +\infty[$.

En faisant bouger le point a sur le graphique de gauche, la trace de la fonction composée $f(g(x)) = \left({\sqrt{x}}\right)^2+1$ apparaît en bleue dans la fenêtre de droite pour créer la fonction linéaire $x+1$, mais seulement pour les valeurs de $x \in [0, +\infty[$.