1.3 Les fractions rationnelles

Exemple : Effectuons l'addition suivante : $\dfrac{x-1}{x^3+3x^2} + \dfrac{x+4}{2x^2+5x-3}$.

On factorise tout d'abord les dénominateurs afin de trouver un dénominateur commun :

$\dfrac{x-1}{x^3+3x^2} + \dfrac{x+4}{2x^2+5x-3}=\dfrac{x-1}{x^2(x+3)}+\dfrac{x+4}{(2x-1)(x+3)}$

Le domaine de cette fraction est donc : $\mathbb{R}\setminus\lbrace -3,0,\frac{1}{2}\rbrace$.

On ramène les fractions sur le dénominateur commun : $x^2(x+3)(2x-1)$

$\begin{array}{ll} \dfrac{x-1}{x^2(x+3)}+\dfrac{x+4}{(2x-1)(x+3)}&\\=\dfrac{(x-1)\pmb{(2x-1)}}{x^2(x+3)\pmb{(2x-1)}}+\dfrac{\pmb{x^2}(x+4)}{\pmb{x^2}(2x-1)(x+3)}&\\=\dfrac{(x-1)(2x-1)+x^2(x+4)}{x^2(x+3)(2x-1)}&\small\text{; on additionne les numérateurs}\\=\dfrac{2x^2-x-2x+1+x^3+4x^2}{x^2(x+3)(2x-1)}&\\=\boxed{\dfrac{x^3+6x^2-3x+1}{x^2(x+3)(2x-1)}}&\small\text{; on simplifie le numérateur}\end{array}$

Exemple : Effectuons la multiplication suivante : $\dfrac{x^2+6x-7}{2x^2-10x} \times \dfrac{x^4-5x^3}{x^2+x-2}$.

Il faut factoriser et multiplier les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions. La factorisation permet de simplifier plus facilement.

$\begin{array}{ll}\dfrac{x^2+6x-7}{2x^2-10x} \times \dfrac{x^4-5x^3}{x^2+x-2}&\\=\dfrac{(x+7)(x-1)}{2x(x-5)} \times \dfrac{x^3(x-5)}{(x+2)(x-1)}&\small\text{; on factorise}\\=\dfrac{(x+7)(x-1)\cdot x^3(x-5)}{2x(x-5)\cdot(x+2)(x-1)}&\small\text{; on multiplie les numérateurs}\\=\dfrac{(x+7)\cancel{(x-1)}\cdot \cancel{x}^3\cancel{(x-5)}}{2\cancel{x}\cancel{(x-5)}\cdot(x+2)\cancel{(x-1)}}=\dfrac{(x+7)\cdot x^2}{2\cdot(x+2)}&\small{\text{; on divise par }x, (x-1), (x-5)}\end{array}$

On a pu diviser par les facteurs communs $x$, $(x-1)$ et $(x-5)$, car le domaine de cette fraction est : $\mathbb{R}\setminus\lbrace -2,0, 1,5\rbrace$ où $-2, 0, 1$ et $5$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles les dénominateurs $2x(x-5)$ et $(x+2)(x-1)$ sont nuls.

Par conséquent, $\dfrac{x^2+6x-7}{2x^2-10x} \times \dfrac{x^4-5x^3}{x^2+x-2}=\dfrac{x^2(x+7)}{2(x+2)}$ ou $\dfrac{x^3+7x^2}{2x+4}$.