3.2 Les identités trigonométriques

3. Formules trigonométriques utiles

Les formules trigonométriques proviennent des propriétés des angles associés suivants :

Les angles opposés
Les angles complémentaires et anticomplémentaires
Les angles supplémentaires et antisupplémentaires

Angles opposés

Deux angles sont opposés si et seulement si leur somme est égale à 0. Les angles $\theta$ et $-\theta$ sont opposés et à l'aide du cercle trigonométrique ci-contre, on peut en déduire ces formules :

$\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$

$\cos(-\theta)=\cos(\theta)$

Exemple : $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , car les angles $\frac{\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6}$ sont deux angles opposés, $\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)=0$ .

On a vu précédemment que la valeur du cosinus des angles $\frac{-\pi}{6}$ et $\left(\frac{-\pi}{6}+2\pi\right)$ est la même. On peut en déduire également l'égalité suivante :

$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Angles complémentaires et anticomplémentaires

Deux angles sont complémentaires si et seulement si leur somme est égale à 90°, tandis que deux angles sont anticomplémentaires si et seulement si la valeur absolue de leur différence est égale à 90°. Les angles $\theta$ et $\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$ sont complémentaires et les angles $\theta$ et $\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)$ sont anticomplémentaires. À l'aide des figures, on peut en déduire les formules suivantes :

$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos(\theta)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin(\theta)$

$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos(\theta)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin(\theta)$

Exemple : $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ , car les angles $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{3}$ sont deux angles complémentaires, $\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ .

Angles supplémentaires et antisupplémentaires

Deux angles sont supplémentaires si et seulement si leur somme est égale à 180°, tandis que deux angles sont antisupplémentaires si et seulement si la valeur absolue de leur différence est égale à 180°. Les angles $\theta$ et $(\pi-\theta)$ sont supplémentaires et les angles $\theta$ et $(\pi+\theta)$ sont antisupplémentaires.