2.3 Quelques fonctions particulières

Déplacez les différents curseurs « a », « b », « h » et « k ».

• Le paramètre $\pmb{h}$ fait subir à la fonction $f(x) = a|x|$ un déplacement horizontal et le paramètre $\pmb{k}$, un déplacement vertical.
• Le graphique admet pour axe de symétrie la droite $x=h$. De plus, le sommet de la fonction est le point $\left({h,k}\right)$.
• Le paramètre $\pmb{a}$ déforme la fonction $f(x) = |x|$ en la contractant ou en la dilatant. De plus, si $a$ est négatif, la courbe subit une réflexion par rapport à l'axe des $x$.
• Par conséquent, si $a>0$, le sommet $(h,k)$ de la fonction est un minimum et si $a$, le sommet est un maximum.
• Le paramètre $\pmb{b}$ déforme également la fonction $f(x)=|x|$. Par contre, si $b$ est négatif, la courbe ne subit aucune réflexion par rapport à l'axe des $y$. Étant donné que $b$ est à l'intérieur de la valeur absolue, il n'influence pas le signe de la fonction, c'est-à-dire que $|-bx| = |bx|$.

Exemple : Étudions la fonction $f(x) = 2\lvert{-(x-1)}\rvert -3$, où $a = 2$, $b = -1$, $h=1$ et $k=-3$. Par simplification, on peut voir que cette fonction a également pour équation :

$f(x) = 2\lvert{-(x-1)}\rvert -3 = 2|-1|\lvert{x-1}\rvert - 3=\boxed{2\lvert{x-1}\rvert-3}$

Le graphique est ouvert vers le haut, car $a=2>0$.

De plus, le sommet de la fonction est un minimum avec des coordonnées de $(1,-3)$.

Pour déterminer les zéros de $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=0$. En utilisant la démarche de résolution d'équations vue dans cette à la section 1.4, on doit résoudre :

$\quad 2\lvert{x-1}\rvert - 3 = 0 \Rightarrow 2\lvert{x-1}\rvert = 3$.

$2\lvert{x-1}\rvert = 3 \Leftrightarrow 2(x-1) = 3 \text{ ou } 2(x-1) = -3$

$\begin{array}{lll}\Rightarrow 2x-2=3&\quad& 2x-2=-3\\\Rightarrow 2x=5&\quad&2x=-1\\\Rightarrow x=\frac{5}{2}&\quad&x=-\frac{1}{2}\end{array}$

Les zéros de $f$ sont $x=-\dfrac{1}{2}$ et $x=\dfrac{5}{2}$.

Finalement, on peut déterminer le signe de la fonction à l'aide du graphique. On a que $f$ est positive sur l'intervalle $\left]{-\infty,-\frac{1}{2}}\right[ \cup \left]{\frac{5}{2},\infty}\right[$ et $f$ est négative sur l'intervalle $\left]{-\frac{1}{2},\frac{5}{2}}\right[$.

Exemple : Traçons le graphique de la fonction $g(x)= \lvert{x^2+4x-5}\rvert$.

Étant donné que $g(x)$ prend toujours des valeurs positives ou nulles, il faut déterminer les valeurs de $x$ qui rendent négatif le polynôme à l'intérieur de la valeur absolue. Ainsi, on va étudier le signe du polynôme $x^2+4x-5$.

En factorisant, on obtient $(x+5)(x-1)$. Les zéros sont donc $x=-5$ et $x=1$. Construisons un tableau de signes.

Par conséquent,

$x^2+4x-5 > 0$ sur l'intervalle $\left]{-\infty,-5}\right[ \cup \left]{1,\infty}\right[$.

$x^2+4x-5 < 0$ sur l'intervalle $\left]{-5,1}\right[$.

Nous pouvons donc réécrire l'équation de la fonction $g$ à partir de la définition de la fonction valeur absolue de la façon suivante :

$\lvert{x^2+4x-5}\rvert = \left\{\begin{array}{ll}x^2+4x-5&\text{si } x \leq -5 \text{ ou } x \geq 1 \\[0.8em] -(x^2+4x-5) & \text{si } -5 < x < 1 \end{array}\right.$

Nous pouvons maintenant traçer ces deux paraboles dans leur intervalle de définition. Sur le graphique de gauche, $x^2+4x-5$ est représentée par la parabole en rouge et $-(x^2+4x-5)$ par la parabole en bleu. Par conséquent, en prenant seulement le tracé de ces courbes qui se situe au-dessus de l'axe des $x$ (positif), on obtient le graphique de la fonction $g(x)=\lvert{x^2+4x-5}\rvert$ illustré à droite.