1.5 Les inéquations

Exemples :

a) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation $\vert 2x-7\vert < 3$.

Il faut trouver les valeurs de $x$ telles que l'expression à l'intérieur de la valeur absolue est à la fois inférieure à $3$ et supérieure à $-3$, c'est-à-dire $-3 < 2x-7 < 3$.

Il faut résoudre les deux inéquations suivantes et à faire l'intersection des deux ensembles solutions.

$\begin{array}{rllrl}2x-7&-3\\2x&4\\x&2\end{array}$

Aidons nous du graphique Geogebra ci-dessous pour comprendre la solution de cette inéquation. En déplaçant le point vert sur la droite, on peut voir le résultat de la valeur absolue $\vert 2x-7\vert$ pour certaines valeurs de $x$. L'ensemble solution contient toutes les valeurs de $x$ qui sont à la fois inférieures à $5$ et supérieures à $2$, c'est-à-dire les valeurs de $x$ qui appartiennent à l'intervalle $\left]2,5\right[,$ comme le montre la trace en bleue sur l'axe des $x$.

De plus, on remarque que pour $x=\frac{7}{2},$ l'intérieur de la valeur absolue est nul, car $2\left(\frac{7}{2}\right)-7=0$. Ainsi, lorsque $x$ l'intérieur de la valeur absolue devient négatif, soit $2x-7 < 0,$ et lorsque $x>\frac{7}{2}$, l'intérieur devient positif, soit $2x-7>0$. Cela correspond bien à la définition de la valeur absolue :

$\vert{2x-7}\vert=\begin{cases}2x-7&\text{si }x\ge\frac{7}{2}\\-(2x-7)&\text{si }x$

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b) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation $\lvert{2x-7}\rvert > 3$.

Il faut trouver les valeurs de $x$ qui appartiennent à l'un ou l'autre des ensembles solutions des deux inéquations :

$\begin{array}{rlcrl} 2x-7& < -3 & \text{ou} & 3 & < 2x-7\\ 2x & < 4 & \text{ou} &10 & < 2x \\ x & < 2 & \text{ou} & 5 & < x \end{array}$

Il faut faire l'union de ces deux ensembles que l'on a représentés sur l'axe réel suivant :

Les valeurs de $x$ peuvent donc appartenir à l'intervalle $\left]-\infty, 2\right[$ ou bien à l'intervalle $\left]{5, +\infty}\right[$.

L'ensemble solution de l'inéquation $\lvert{2x-7}\rvert > 3$ est donc $\Bigl]{-\infty, 2}\Bigr[ \cup \Bigl]{5, +\infty}\Bigr[$.

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c) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation $\lvert{2x+1}\rvert \leq 3x-5$.

Il faut trouver les valeurs de $x$ qui sont communes aux ensembles solutions des deux inéquations :

$-\left({3x-5}\right) \leq 2x+1 \leq 3x-5$

$\begin{array}{rlcrl} -3x+5 & \leq 2x+1 & \text{et} & 2x+1 & \leq 3x-5 \\ -5x & \leq -4 & \text{et} & -x & \leq -6 \\ x & \geq \dfrac{4}{5} & \text{et} & x & \geq 6 \end{array}$

Il faut faire l'intersection de ces deux ensembles que l'on a représentés sur l'axe réel suivant :

C'est-à-dire que les valeurs de $x$ appartiennent à la fois à l'intervalle $\left[{\frac{4}{5},+\infty}\right[$ et à l'intervalle $\left[{6, +\infty}\right[$.

L'ensemble solution de l'inéquation $\lvert{2x+1}\rvert \leq 3x-5$ est donc $\bigl[{6, +\infty}\bigr[$.