1.5 Les inéquations

1. Principes pour résoudre une inéquation

Résoudre une inéquation consiste à trouver l'ensemble des valeurs par lesquelles on peut remplacer la variable pour obtenir une inégalité vraie. Par exemple :

La solution

$x=1$ est une des solutions de l'inégalité

${2x + 1 < 5}$ , car en la remplaçant dans cette dernière on obtient

$2\times 1 + 1 < 5$ qui est une inégalité vraie.

Par contre

$x=2$ n'est pas une solution, car

$2\times 2 + 1 = 5$ et

$5< 5$ est une inégalité fausse.

On voit que les solutions de cette inéquation sont toutes les valeurs telles que

$x < 2$ .

Afin de résoudre une inéquation, il faut la transformer en une ou plusieurs inéquations équivalentes de la forme :

$x< c, \quad x>c, \quad x \leq c \; \text{ ou } \; x \geq c$

Pour y arriver, on peut bien sûr utiliser les opérations élémentaires $+,\;-,\;\times$ et $\div$ . Par contre, pour chacune des opérations il faut respecter certaines propriétés.

Addition et soustraction : Soit $c \in \mathbb{R}$

$a < b$ est équivalente à $a \pm c < b \pm c$ .

Multiplication et division : Soit $c > 0$ , (un nombre réel positif)

$a < b$ est équivalente à $ac < bc$ .
$a < b$ est équivalente à $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ .
Multiplication et division : Soit $c < 0$ , (un nombre réel négatif)

$a < b$ est équivalente à $ac > bc$ .
$a < b$ est équivalente à $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$ (il faut inverser le sens de l'inégalité).

*Toutes ces propriétés sont aussi valides avec les symboles $>$ , $\leq$ ou $\geq$ .

Exemples :

a) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation $\dfrac{2-3x}{3} - \dfrac{1+x}{4} \leq 8$

$\begin{array}{rcll} \dfrac{4\left({2-3x}\right) - 3\left({1+x}\right)}{12} & \leq & 8 & \small\text{; dénominateur commun} \\[1em]\dfrac{5-15x}{12} & \leq & 8 & {} \\[1em]5 - 15x & \leq & \pmb{12} \times 8 & \small\text{; on a multiplié par }12 \text{ chaque membre sans changer le sens de l'inégalité} \\[0.8em]-15x & \leq & 96 - \pmb{5} & \small\text{; on a soustrait }5 \text{ à chaque membre sans changer le sens de l'inégalité} \\[0.8em]x & \geq & \dfrac{91}{\pmb{-15}} & \small\text{; on a divisé par }-15 \text{ chaque membre }\textbf{en changeant le sens de l'inégalité} \end{array}$

L'ensemble solution de cette inéquation est décrit par

$\Big\{{x \in \mathbb{R} \Big| x \geq \frac{-91}{15}}\Big\}$ ou par l'intervalle

$x \in \left[{-\frac{91}{15}, +\infty}\right[$ .

b) Trouvons le domaine de l'équation $\sqrt{5-8x} + \sqrt{3x+9} = 10$

On cherche l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles chacune des expressions existe dans $\mathbb{R}$ .
Puisque la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie, il faut que

$\begin{array}{rclcrcl} 5-8x & \geq & 0 &\quad\text{ et }\quad& 3x+9 & \geq & 0 \\[0.8em]-8x & \geq & -5 & {} & 3x & \geq & -9 \\[0.8em]x & \mathbf{\leq} & \dfrac{5}{8} & {} & x & \geq & -3 \end{array}$

Le domaine est donc l'ensemble des valeurs pour lesquelles $x \geq -3$ et $x \leq \frac{5}{8}$ , ce qui correspond à l'intervalle $\left[{-3, \frac{5}{8}}\right]$ .

1.5 Les inéquations

1. Principes pour résoudre une inéquation

Exercices formatifs WeBWorK

Résoudre des inéquations