1.2 La factorisation

7. Somme et différence de cubes

${x^3} + {a^3} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - ax + {a^2}} \right)$

${x^3} - {a^3} = \left( {x - a} \right)\left( {{x^2} + ax + {a^2}} \right)$

On peut appliquer directement les formules ci-dessus pour factoriser un binôme dont chacun des termes est le cube d’un nombre ou d’une expression.

Exemple 1 : Factorisons le binôme $x^3+8$ .

$\begin{array}{rl}{x^3+8}&{= {x^3} + { 2 ^3}}\\{}&{= \left( {x + 2} \right)\left( {{{x}^2} - 2x + {2^2}} \right)}\\{}&{= \left( {x+2} \right)\left( {{x^2} - {2x} + 4} \right)}\end{array}$

Exemple 2 : Factorisons le binôme $8{x^6}-27$ .

$\begin{array}{rl}{8{x^6}-27}&{= {\left( {2{x^2}} \right)^3} - {\left( 3 \right)^3}}\\{}&{= \left( {2{x^2} - 3} \right)\left( {{{\left( {2{x^2}} \right)}^2} + \left( {2{x^2}} \right)\left( 3 \right) + {3^2}} \right)}\\{}&{= \left( {2{x^2} - 3} \right)\left( {4{x^4} + 6{x^2} + 9} \right)}\end{array}$