1.2 La factorisation

4. Polynômes quadratiques

4.3. Polynôme quadratique non factorisable

On dit qu'un polynôme quadratique de la forme $P(x)=ax^2+bx+c$ est irréductible s'il n'est pas factorisable, c'est-à-dire si on ne peut pas le décomposer en un produit de deux facteurs de degré 1. Voici la règle à respecter :

Si $b^2-4ac < 0$ , alors $P(x)=ax^2+bx+c$ est irréductible.
Si $b^2-4ac \geq 0$ , alors $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les zéros du polynôme $P(x)$ , c'est-à-dire que $P(x_1)=0$ et $P(x_2)=0$ . Ils sont obtenus par la formule quadratique:

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Par exemple, le polynôme $P(x)=x^2 - x + 4$ n'est pas factorisable, car $b^2-4ac = (-1)^2 - 4(4)=-15 < 0$ . De façon équivalente, on peut dire qu'il n'existe aucune valeur de $x$ telle que $P(x)=x^2-x+4=0$ . Le graphique de cette fonction représente une courbe qui ne croisera jamais l'axe des $x$ .

De même, une somme de deux carrés $x^2+a^2$ n’est pas décomposable en facteurs, car il n'existe aucune valeur réelle de $x$ telle que $x^2+a^2=0$ ou telle que $x^2=-a^2$ .

Le graphique Geogebra ci-dessous représente la fonction quadratique $f(x) = {x^2} + {a^2}$ . Suivez les instructions et remarquez que la courbe de cette fonction ne croisera jamais l’axe des $x$ peu importe la valeur de a.