1.2 La factorisation

4. Polynômes quadratiques

4.2. Trinôme général

$a{x^2} + bx + c = a{x^2} + \left( {ux + vx} \right) + c$
où

$b = u + v$ et

$ac = uv$

On peut factoriser un trinôme général en suivant les étapes suivantes :

1. On cherche deux nombres $u$ et $v$ , dont la somme est ${b}$ et le produit est ${ac}$ .

$u + v =b \text{ et }uv = ac$

2. On remplace ${b}$ par la somme de ces deux nombres.

3. On effectue une mise en évidence double.

Exemples : Factorisons les trinômes suivants.

a)

$\pmb{{x^2} - 5x + 36}$

On cherche deux nombres tels que

$u + v =b = - 5 \text{ et }uv = ac = 36$

$- 9 + 4 = - 5 \quad\text{ et }\quad\left( { - 9} \right)\left( 4 \right)= - 36$

On effectue ensuite une double mise en évidence de la façon suivante :

$\begin{array}{rl}{{x^2}- 5x + 36}&{= {x^2} - 9x + 4x + 36}\\{}&{= x\left( {x - 9} \right) + 4\left( {x - 9}\right)}\\{}&{= \left( {x - 9} \right)\left( {x + 4} \right)}\end{array}$

Remarque : Si $a=1$ , le trinôme de la forme ${x^2} + bx + c$ peut se factoriser plus directement de la façon suivante :

${x^2} + bx + c = \left( {x + u} \right)\left( {x + v} \right)$

b)

$\pmb{6{x^2} - 7x - 3}$

On cherche deux nombres tels que

$u + v =b = - 7 \text{ et } uv = ac= - 18$

$- 9 + 2 = - 7 \text{ et }\left( { - 9} \right)\left( 2 \right)= - 18$

On effectue ensuite une double mise en évidence :

$\begin{array}{rl}{6{x^2} + 7x - 3}&{= 6{x^2} - 9x+ 2x - 3}\\{}&{= 3x\left( {2x - 3} \right) + \left( {2x - 3} \right)}\\{}&{= \left( {2x- 3} \right)\left( {3x + 1} \right)}\end{array}$

c)

$\pmb{x^4-x^2-12}$

Tout d'abord, remarquons que $x^4 = (x^2)^2$ . Remplaçons $t=x^2$ afin d'exprimer notre polynôme en $x$ de degré 4 en un polynôme en $t$ de degré 2. Nous obtenons

$x^4 - x^2 - 12 = (x^2)^2 - x^2 -12 = t^2 - t - 12$

Notre polynôme est maintenant sous la forme $t^2 + bt + c$ . Pour le factoriser, on cherche deux nombres tels que

$u + v =b = -1\text{ et } uv = c= - 12$

On a $-4+3=-1$ et $-4\times 3 = -12$ .

On obtient alors :

$\begin{array}{rll} t^2-t-12 &= \left(t-4\right)\left(t+3\right)&\\&=\left(x^2-4\right)\left(x^2+3\right)&; t=x^2\\&=(x-2)(x+2)(x^2+3)&; x^2-4 \small\text{ est une différence de carrés }\end{array}$

Par conséquent, $x^4-x^2-12 = (x-2)(x+2)(x^2+3)$ .