1.2 La factorisation

4. Polynômes quadratiques

4.1. Trinôme carré parfait

${x^2} + 2xy + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2}$

Lorsqu’on élève la somme de deux variables au carré, on constate qu'un des termes du polynôme correspond au double du produit de ces variables. En effet,

$\left(x+y\right)^2=\left(x+y\right)\left(x+y\right)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+\boxed{2xy}+y^2$

La factorisation trinôme carré parfait s’utilise seulement avec des polynômes qui s'écrivent comme une somme de trois termes ayant la forme suivante :

- ${x^2}$ est le carré du premier terme.
- ${y^2}$ est le carré du second terme.
- $2xy$ est le double du produit des deux termes.

Exemples :

a) $4{a^2}+ 20a + 25 = {\left( {2a + 5} \right)^2}$ , car

$\cdot \; 4{a^2}$ est le carré de $2a$ .

$\cdot \; 25$ est le carré de $5$ .

$\cdot \; 20a=2\left( {2a} \right)\left( 5\right)$

b) ${x^4}- 8{x^2}y + 16{y^2} = \left( {{x^2} - 4y} \right)^2$ , car

$\cdot \; {x^4}$ est le carré de $x^2$ .

$\cdot \; 16{y^2}$ est le carré de $- 4y$ .

$\cdot \; -8x^2y=2\left( {{x^2}} \right)\left( { -4y} \right)$

c) Factorisons $x^6 - 12x^3 + 36$ .

On peut écrire $x^6 = (x^3)^2$ . Posons la nouvelles variable $u=x^3$ pour faciliter l'écriture. L'expression devient donc :

$\begin{array}{lll}x^6 - 12x^3 + 36 &= (x^3)^2 - 12(x^3) + 36& \\&= u^2 - 12u + 36&; u=x^3\\ &=u^2 + 2(-6)u + (-6)^2&;\small -12u\text{ est le double du produit de }-6\text{ et }u \\ &= \left(u-6\right)^2&\\&=\boxed{ \left( x^3-6\right)^2} &; u=x^3\end{array}$